最近在研究小四軸的飛行，姿態檢測主要用到的傳感器是MPU6050。從MPU6050讀出來的加速度和角速度數據最后要轉成姿態，可以轉換成歐拉角（偏航角、俯仰角和滾轉角）或四元數表示，為了減少計算量（歐拉角涉及正弦運算，運算量相對較大），方便在STM32主控上實現，可以轉換成四元數表示。

　　使用MPU6050硬件DMP解算姿態是非常簡單的，下面介紹由三軸陀螺儀和加速度計的值來使用四元數軟件解算姿態的方法。

　　我們先來看看如何用歐拉角描述一次平面旋轉（坐標變換）：

　　設坐標系繞旋轉α角后得到坐標系，在空間中有一個矢量在坐標系中的投影為，在內的投影為由于旋轉繞進行，所以Z坐標未變，即有。

　　轉換成矩陣形式表示為：

　　整理一下：

　　所以從旋轉到可以寫成

　　上面僅僅是繞一根軸的旋轉，如果三維空間中的歐拉角旋轉要轉三次：

　　上面得到了一個表示旋轉的方向余弦矩陣。

　　不過要想用歐拉角解算姿態，其實我們套用歐拉角微分方程就行了：

　　上式中左側，，是本次更新后的歐拉角，對應row，pit，yaw。右側，是上個周期測算出來的角度，，，三個角速度由直接安裝在四軸飛行器的三軸陀螺儀在這個周期轉動的角度，單位為弧度，計算間隔時T陀螺角速度，比如0.02秒0.01弧度/秒=0.0002弧度。間因此求解這個微分方程就能解算出當前的歐拉角。

　　前面介紹了什么是歐拉角，而且歐拉角微分方程解算姿態關系簡單明了，概念直觀容易理解，那么我們為什么不用歐拉角來表示旋轉而要引入四元數呢？

　　一方面是因為歐拉角微分方程中包含了大量的三角運算，這給實時解算帶來了一定的困難。而且當俯仰角為90度時方程式會出現神奇的“GimbalLock”。所以歐拉角方法只適用于水平姿態變化不大的情況，而不適用于全姿態飛行器的姿態確定。

　　四元數法只求解四個未知量的線性微分方程組，計算量小，易于操作，是比較實用的工程方法。

　　我們知道在平面（x，y）中的旋轉可以用復數來表示，同樣的三維中的旋轉可以用單位四元數來描述。我們來定義一個四元數：

　　我們可以把它寫成，其中，。那么是矢量，表示三維空間中的旋轉軸。w是標量，表示旋轉角度。那么就是繞軸旋轉w度，所以一個四元數可以表示一個完整的旋轉。只有單位四元數才可以表示旋轉，至于為什么，因為這就是四元數表示旋轉的約束條件。

　　而剛才用歐拉角描述的方向余弦矩陣用四元數描述則為：

　　所以在軟件解算中，我們要首先把加速度計采集到的值（三維向量）轉化為單位向量，即向量除以模，傳入參數是陀螺儀x，y，z值和加速度計x，y，z值：

　　《code》void IMUupdate（float gx， float gy， float gz， float ax， float ay， float az） { float norm; float vx， vy， vz; float ex， ey， ez; norm = sqrt（ax*ax + ay*ay + az*az）; ax = ax / norm; ay = ay / norm; az = az / norm;

　　下面把四元數換算成方向余弦中的第三行的三個元素。剛好vx，vy，vz 其實就是上一次的歐拉角（四元數）的機體坐標參考系換算出來的重力的單位向量。

　　《code》// estimated direction of gravity vx = 2*（q1*q3 - q0*q2）; vy = 2*（q0*q1 + q2*q3）; vz = q0*q0 - q1*q1 - q2*q2 + q3*q3;

　　axyz是機體坐標參照系上，加速度計測出來的重力向量，也就是實際測出來的重力向量。

　　axyz是測量得到的重力向量，vxyz是陀螺積分后的姿態來推算出的重力向量，它們都是機體坐標參照系上的重力向量。

　　那它們之間的誤差向量，就是陀螺積分后的姿態和加計測出來的姿態之間的誤差。

　　向量間的誤差，可以用向量叉積（也叫向量外積、叉乘）來表示，exyz就是兩個重力向量的叉積。

　　這個叉積向量仍舊是位于機體坐標系上的，而陀螺積分誤差也是在機體坐標系，而且叉積的大小與陀螺積分誤差成正比，正好拿來糾正陀螺。（你可以自己拿東西想象一下）由于陀螺是對機體直接積分，所以對陀螺的糾正量會直接體現在對機體坐標系的糾正。

　　《code》// integral error scaled integral gain exInt = exInt + ex*Ki; eyInt = eyInt + ey*Ki; ezInt = ezInt + ez*Ki;

　　用叉積誤差來做PI修正陀螺零偏

　　《code》// integral error scaled integral gain exInt = exInt + ex*Ki; eyInt = eyInt + ey*Ki; ezInt = ezInt + ez*Ki; // adjusted gyroscope measurements gx = gx + Kp*ex + exInt; gy = gy + Kp*ey + eyInt; gz = gz + Kp*ez + ezInt;

　　四元數微分方程，其中T為測量周期，為陀螺儀角速度，以下都是已知量，這里使用了一階龍哥庫塔求解四元數微分方程：

　　《code》// integrate quaternion rate and normalise q0 = q0 + （-q1*gx - q2*gy - q3*gz）*halfT; q1 = q1 + （q0*gx + q2*gz - q3*gy）*halfT; q2 = q2 + （q0*gy - q1*gz + q3*gx）*halfT; q3 = q3 + （q0*gz + q1*gy - q2*gx）*halfT;

　　最后根據四元數方向余弦陣和歐拉角的轉換關系，把四元數轉換成歐拉角：

　　所以有：

　　Q_ANGLE.Yaw = atan2（2 * q1 * q2 + 2 * q0 * q3， -2 * q2*q2 - 2 * q3* q3 + 1）* 57.3; // yaw

　　Q_ANGLE.Y = asin（-2 * q1 * q3 + 2 * q0* q2）* 57.3; // pitch

　　Q_ANGLE.X = atan2（2 * q2 * q3 + 2 * q0 * q1， -2 * q1 * q1 - 2 * q2* q2 + 1）* 57.3; // roll

　　以下是代碼實現，attitude是上一次姿態融合的四元數（內存地址），gyr［3］是MPU6050讀出來的角速度，acc［3］是MPU6050讀出來的加速度，interval為積分時間。

　　void mix_gyrAcc_crossMethod（quaternion * attitude，const float gyr［3］，const float acc［3］，float interval）

　　{

　　const static float FACTOR = 0.001;//取接近0的數

　　//

　　float w_q = attitude-》w;

　　float x_q = attitude-》x;

　　float y_q = attitude-》y;

　　float z_q = attitude-》z;

　　float x_q_2 = x_q * 2;

　　float y_q_2 = y_q * 2;

　　float z_q_2 = z_q * 2;

　　//

　　// 加速度計的讀數，單位化。

　　float a_rsqrt = math_rsqrt（acc［0］*acc［0］+acc［1］*acc［1］+acc［2］*acc［2］）;

　　float x_aa = acc［0］ * a_rsqrt;

　　float y_aa = acc［1］ * a_rsqrt;

　　float z_aa = acc［2］ * a_rsqrt; //加速度計測量出的加速度向量（載體坐標系下）

　　//

　　// 載體坐標下的重力加速度向量，單位化。

　　float x_ac = x_q*z_q_2 - w_q*y_q_2;

　　float y_ac = y_q*z_q_2 + w_q*x_q_2; //通過四元數旋轉矩陣與地理坐標系下的重力加速度向量［0 0 0 1］叉乘得到載體坐標系下的重力加速度向量

　　float z_ac = 1 - x_q*x_q_2 - y_q*y_q_2;//（主要）角速度計測出的四元數表示的載體坐標系下的重力加速度向量（這里已轉換成載體坐標系下）

　　//

　　// 測量值與常量的叉積。

　　float x_ca = y_aa * z_ac - z_aa * y_ac;

　　float y_ca = z_aa * x_ac - x_aa * z_ac;

　　float z_ca = x_aa * y_ac - y_aa * x_ac;//角速度計測出的角度誤差，疊加的FACTOR大小可以實驗試湊

　　//

　　// 構造增量旋轉。

　　float delta_x = gyr［0］ * interval / 2 + x_ca * FACTOR;

　　float delta_y = gyr［1］ * interval / 2 + y_ca * FACTOR;

　　float delta_z = gyr［2］ * interval / 2 + z_ca * FACTOR;

　　//

　　// 融合，四元數乘法。

　　attitude-》w = w_q - x_q*delta_x - y_q*delta_y - z_q*delta_z;

　　attitude-》x = w_q*delta_x + x_q + y_q*delta_z - z_q*delta_y;

　　attitude-》y = w_q*delta_y - x_q*delta_z + y_q + z_q*delta_x;

　　attitude-》z = w_q*delta_z + x_q*delta_y - y_q*delta_x + z_q;

　　quaternion_normalize（attitude）;//歸一化

　　}