在任何一個規則球面地圖上，用 R記區域個 數 ，V記頂點個數 ，E記邊界個數，則 R+ V- E= 2，這就是歐拉定理，它于1640年由Descartes首先給出證明 ，后來 Euler（歐拉）于1752年又獨立地給出證明，我們稱其為歐拉定理，在國外也有人稱其為Descartes定理。

　　歐拉公式的證明

　　這三個公式分別為其省略余項的麥克勞林公式，其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式，在 的展開式中把x換成±ix。

　　所以

　　由此：#FormatImgID_0# ， ，然后采用兩式相加減的方法得到： ， 。這兩個也叫做歐拉公式。將 中的x取作π就得到：這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數字聯系到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1；以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”。

　　歐拉公式推導過程

　　用拓樸學方法證明歐拉公式

　　嘗歐拉公式：對于任意多面體（即各面都是平面多邊形并且沒有洞的立體），假 設F，E和V分別表示面，棱（或邊），角（或頂）的個數，那么F-E+V=2.試一下用拓樸學方法證明關于多面體的面、棱、頂點數的歐拉公式。

　　證明 如圖15（圖是立方體，但證明是一般的，是“拓樸”的）：

　　（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。

　　（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設F′，E′和V′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明F′-E′+V′=1.

　　（3）對于這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對于還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時候，F′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。

　　（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC.這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。

　　（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF.這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。

　　（6）這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1.

　　（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。

　　（8）如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。

　　即F′-E′+V′=1

　　成立，于是歐拉公式R+ V- E= 2。