關于矩陣知識的一點補充：好長時間沒看過線性代數的話，這一段比較難理解。可以看到M是實對稱矩陣，這里簡單溫習一下實對稱矩陣和二次型的一些知識點吧。

　　1. 關于特征值和特征向量：

　　特征值的特征向量的概念忘了就自己查吧，這里只說關鍵的。對于實對稱矩陣M（設階數為n），則一定有n個實特征值，每個特征值對應一組特征向量（這組向量中所有向量共線），不同特征值對應的特征向量間相互正交；（注意這里說的是實對稱矩陣，不是所有的矩陣都滿足這些條件）

　　2. 關于對角化：

　　對角化是指存在一個正交矩陣Q，使得 Q’MQ 能成為一個對角陣（只有對角元素非0），其中Q’是Q的轉置（同時也是Q的逆，因為正交矩陣的轉置就是其逆）。一個矩陣對角化后得到新矩陣的行列式和矩陣的跡（對角元素之和）均與原矩陣相同。如果M是n階實對稱矩陣，則Q中的第 j 列就是第 j 個特征值對應的一個特征向量（不同列的特征向量兩兩正交）。

　　3. 關于二次型：

　　對于一個n元二次多項式，f（x1，x2.。。.xn） = ∑ （ aij*xi*xj ） ，其中 i 和 j 的求和區間均為 ［1，n］ ，

　　可將其各次的系數 aij 寫成一個n*n矩陣M，由于 aij 和 aji 的對稱等價關系，一般將 aij 和 aji 設為一樣的值，均為 xi*xj 的系數的二分之一。這樣，矩陣M就是實對稱矩陣了。即二次型的矩陣默認都是實對稱矩陣

　　4. 關于二次型的標準化（正交變換法）：

　　二次型的標準化是指通過構造一個n階可逆矩陣 C，使得向量 （ x1，x2.。.xn ） = C * （y1，y2.。.yn），把n維向量 x 變換成n維向量 y ，并代入f（x1，x2.。。.xn） 后得到 g（y1，y2.。.yn），而后者的表達式中的二次項中不包含任何交叉二次項 yi*yj（全部都是平方項 yi^2），也即表達式g的二次型矩陣N是對角陣。用公式表示一下 f 和 g ，（下面的表達式中 x 和 y都代表向量，x‘ 和 y’ 代表轉置）

　　f = x‘ * M * x ;

　　g = f = x’ * M * x = （Cy）‘ * M * （Cy） = y’ * （C‘MC） * y = y’ * N * y ;

　　因此 C‘MC = N。正交變換法，就是直接將M對角化得到N，而N中對角線的元素就是M的特征值。正交變換法中得到的 C 正好是一個正交矩陣，其每一列都是兩兩正交的單位向量，因此 C 的作用僅僅是將坐標軸旋轉（不會有放縮）。

　　OK，基礎知識補充完了，再來說說Harris角點檢測中的特征值是怎么回事。這里的 M 是

　　將M對角化后得到矩陣N，他們都是2階矩陣，且N的對角線元素就是本文中提到的 α 和 β。

　　本來 E（x，y） = A*x^2 + 2*C*x*y + B*y^2 ，而將其標準后得到新的坐標 xp和yp，這時表達式中就不再含有交叉二次項，新表達式如下：

　　E（x，y） = Ep （xp，yp） = α*xp^2 + β*yp^2，

　　我們不妨畫出 Ep （xp，yp） = 1 的等高線L ，即

　　α*xp^2 + β*yp^2 = 1 ，

　　可見這正好是（xp，yp）空間的一個橢圓，而α 和 β則分別是該橢圓長、短軸平方的倒數（或者反過來），且長短軸的方向也正好是α 和 β對應的特征向量的方向。由于（x，y）空間只是 （xp，yp）空間的旋轉，沒有放縮，因此等高線L在（x，y）空間也是一個全等的橢圓，只不過可能是傾斜的。

　　現在就能理解下面的圖片中出現的幾個橢圓是怎么回事了，圖（a）中畫的正是高度為 1 的等高線，（其他”高度“處的等高線也是橢圓，只不過長短軸的長度還要乘以一個系數）。其他的幾幅圖片中可以看到，“平坦”區域由于（高度）變化很慢，等高線（橢圓）就比較大；而”邊緣“區域則是在一個軸向上高度變化很快，另一個與之垂直的軸向上高度變化很慢，因此一個軸很長一個軸很短；“角點”區域各個方向高度都變化劇烈，因此橢圓很小。我們人眼可以直觀地看到橢圓的大小胖瘦，但如何讓計算機識別這三種不同的幾何特征呢？為了能區分出角點、邊緣和平坦區域我們現在需要用α 和 β構造一個特征表達式，使得這個特征式在三種不同的區域有明顯不同的值。一個表現還不錯的特征表達式就是：

　　（αβ） - k（α+β）^2

　　表達式中的 k 的值怎么選取呢？它一般是一個遠小于 1 的系數，opencv的默認推薦值是 0.04（=0.2的平方），它近似地表達了一個閾值：當橢圓短、長軸的平方之比（亦即α 和 β兩個特征值之比）小于這個閾值時，認為該橢圓屬于“一個軸很長一個軸很短”，即對應的點會被認為是邊緣區域。

　　對于邊緣部分，（假設較大的特征值為β）由于 β》》α且α《kβ，因此特征式 ：

　　（αβ） - k（α+β）^2 ≈ αβ - kβ^2 《 （kβ）β - kβ^2 = 0

　　即邊緣部分的特征值小于0 ；

　　對于非邊緣部分，α 和 β相差不大，可認為 （α+β）^2 ≈ 4αβ，因此特征式：

　　（αβ） - k（α+β）^2 ≈ αβ - 4kαβ = （ 1 - 4k ） * αβ

　　由于 k 遠小于1，因此 1 - 4k ≈ 1，這樣特征式進一步近似為：

　　（αβ） - k（α+β）^2 ≈ αβ

　　在角點區域，由于α 和 β都較大，對應的特征式的值也就很大；而在平坦區域，特征式的值則很小。

　　因此，三種不同區域的判別依據就是： 如果特征表達式的值為負，則屬于邊緣區域；如果特征表達式的值較大，則屬于角點區域；如果特征表達式的值很小，則是平坦區域。

　　最后，由于αβ和（α+β）正好是M對角化后行列式和跡，再結合上面補充的基礎知識第2條中提到的行列式和跡在對角化前后不變，就可以得到 （αβ） - k（α+β）^2 = det（M） - k*Tr（M）^2，這就是Harris檢測的表達式。