先驗概率和代價函數均模糊時基于貝葉斯最小風險準則的分布式決策融合

當先驗概率和代價函數均為梯形模糊數時，在貝葉斯最小風險準則意義下，研究了在融合中心對多個獨立傳感器的決策進行最優融合的問題，給出了四種決策融合算法，通過仿真和比較這四種融合算法的結果，找到了一種最適用于這種場合的最優決策融合算法.結果表明，在先驗概率和代價函數均為梯形模糊數情況下所導出的最優決策融合規則是各檢測器決策的加權和與一門限之比較，權重是各檢測器檢測概率和虛警概率的函數，門限除與最優融合準則、先驗概率和代價函數有關外，還與使用的去模糊方法有關.
　　關鍵詞:決策；融合；模糊先驗概率；模糊代價函數；貝葉斯風險準則

Optimal Distributed Decision Fusion with Fuzzy a priori Probabilities and Fuzzy Cost Functions Based on Minimum Bayesian Risk Criterion

WANG Guo-hong　MAO Shi-yi
(Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100083,China)
HE You
(Naval Aeronautical Engineering Academy,Yantai 264001,China)
CHEN Li-xin
(Telecommunication Transmission Institute,Beijing 100045,China)

　　Abstract:When the a priori probabilities and cost functions are fuzzy,the optimal decision fusion in the sense of minimum Bayesian risk at the fusion center is considered.The fusion center receives decisions from various distributed sensors and four optimal decision fusion schemes at the fusion center are derived.It is discovered that the optimal decision fusion rule is a weighted sum of local decisions in this case,the weights are functions of the probability of detection and the probability of false alarm of the detector,and that the threshold depends not noly on the fuzzy a priori probabilities and cost functions but also on the criterion used for defuz***ying fuzzy sets.Through the simulation,an optimal decision fusion scheme which is most suitable for fuzzy a priori probabilities and cost functions with trapezoidal membership functions is found.
　　Key words:decision;fusion;fuzzy priori probabilities;fuzzy cost functions;Bayesian risk criterion

一、引　　言
　　近十幾年來，具有數據融合功能的分布式檢測系統引起了人們的廣泛關注［1～4］.其中，在先驗概率和代價函數確切已知時，文獻［1～3］基于貝葉斯最小風險準則對分布式檢測系統進行了研究.我們知道，貝葉斯最小風險準則與先驗概率和代價函數有關，而在實際場合中，先驗概率和代價函數均有可能處于不確切已知的模糊狀態.例如，在雷達系統中，信息狀態的先驗概率并不在雷達系統的直接控制下，先驗概率與雷達系統工作的特定環境有關，從統計等方法得到的先驗概率常常是標稱值，因此，用一個區間或模糊數來表征信息的先驗概率可能是更合適的；同樣，實際中很難用一確切值來表征某種判決的代價，而用模糊數來表征代價函數則可能更符合實際情況.對分布式決策融合系統，當先驗概率和代價函數均模糊時的最優融合結構(在貝葉斯最小風險準則意義下)及模糊先驗概率和模糊代價函數對融合系統性能的影響如何，是一個至今尚水研究的問題.本文對此進行了研究，并在先驗概率和代價函數均為梯形模糊數的情況下，基于貝葉斯最小風險準則導出了最優的決策融合算法，并通過仿真得出了一些結論.

二、兩種新的去模糊方法
　　在推導決策融合算法之前，本節首先提出二種新的去模糊方法.設B為一模糊數，其α-截集為去模糊后的清晰值記為，令B=，其中，B和之間的“=”符號表示一種“序”關系.
　　1.TDC去模糊方法
　　文獻［5］給出了模糊數排序的TDC(Total Distance Criterion)方法，即是要通過映射把橫糊數B映射到實數軸上，通過比較FTDC(.)的大小，來確定模糊數之間的“序”關系.顯然，根據模糊數排序的TDC準則，有FTDC(B)=FTDC().由于是一清晰值，因此可得=FTDC().于是，可得基于TDC準則的去模糊方法為

　(1)

　　本文把這種新的去模糊方法稱之為“TDC去模糊方法”，它實際上是用模糊數的總距離來代替該模糊數.
　　2.URI去模糊方法
　　文獻［5］給出了模糊數排序的URI (Utility Ranking Index)方法，即是要通過映射把模糊數B映射到實數軸上，通過比較FURI(.)的大小，來確定模糊數之間的“序”關系.根據模糊數排序的URI準則，應有FURI(B)=FURI().由于是一清晰值，因此可求得FURI()=ln(2)=2ln().于是，可得基于URI準則的去模糊方法為

　(2)

本文把這種新的去模糊方法，稱之為“URI去模糊方法”，它實際上是用模糊數排序的效用指標來代替該模糊數.

三、決策融合模型及性能分析
　　考慮如下的二元假設檢驗問題：

H0:信號不存在
H1：信號存在.

假定有n個檢測器，各個檢測器的觀測是統計獨立的，第i個檢測器作出的決策為ui，i=1,…,n，且當接受H0時，ui=-1，當接受H1時，ui=1.又設第i個檢測器的虛警概率和檢測概率分別為PFi和FDi，各個檢測器在作出決策ui之后，將決策ui送到融合中心.基于各個檢測器的決策報告，系統融合中心作出系統級的決策u,且當接受H0時，u=-1，當接受H1時，u=1.設兩種假設的先驗概率分別為P(H0)=P0和P(H1)=P1，當假設Hj(j=0,1)為真時，判決接受假設Hi(i=0,1)的代價為Cij，并設Pj和Cij均為模糊數，其隸屬度函數的形式取決于特定的應用場合和一定的主觀判斷，為方便起見，本文中假定它們均為梯形模糊數(常見的三角模糊數和區間數是它的特例)，Pj和Cij的隸屬度函數形式如圖1所示.由于錯誤判決的代價一般總是大于正確判決的代價，因此，本文中假定c011＞c112,c101＞c002.i,j=0,1，很容易由圖1求得Pj和Cij的α-截集并分別記為由于P0和P1是兩種互斥且完備假設的先驗概率，因而，盡管它們是模糊的，它們也必須滿足P0=1-P1，從而必有下列關系式成立：p01=1-p12,p02=1-p11,p0l=1-p1r和p0r=1-p1l.

圖1　Pj和Cij的隸屬度形式

　　由于對Pj的特定清晰值pj和Cij的特定清晰值ci,j,i,j=0,1，可用貝葉斯最小風險準則進行分布式判決融合，因此，當Pj和Cij,i,j=0,1均為模糊數時，可以象處理清晰值的先驗概率和代價函數那樣得到分布式決策融合算法，為

　(3)

其中

　(4)
　(5)

　　由于γ是模糊的，因此若按式(3)進行分布式決策融合的判決，就涉及到一個清晰值和一個模糊數的比較問題.為此，本文提出以下四種對γ進行處理的方法：
　　方法1：按最大隸屬度去模糊方法直接對各模糊數作去模糊處理
　　由于Pj和Cij均為模糊數，因此，一種最直接的方法就是對Pj和Cij,i,j=0,1按某種去模糊方法作去模糊處理，得到Pj的估值j和Cij的估值ij，并將j和ij代入式(5)以替換Pj和Cij,從而確定γ的估值，即

　(6)

由于P0和P1是兩種互斥且完備假設的先驗概率，因此在對P0和P1去模糊時，要求所選擇的去模糊方法應滿足0+1=1.在本文給出的條件下，若按最大隸屬度去模糊方法對Pj和Cij進行模糊處理，即令

　(7)

則易驗證該去模糊方法能夠滿足0+1=1的要求.按式(7)得到j和ij之后，將其代入式(6)即可得γ的去模糊值.
　　方法2：按TDC去模糊方法直接對各模糊數作去模糊處理
　　直接對各模糊數去模糊的第二種方法是采用TDC去模糊方法，即i,j=0,1，令

　(8)
　(9)

同樣可驗證該去模糊方法能夠滿足0+1=1的要求.按式(8)和(9)分別得到j和ij,i,j=0,1之后，同樣將其代入式(6)即可求得γ的去模糊值.
　　方法3：按TDC去模糊方法對γ作去模糊處理
　　i=0,1，若令
　　　a01=c10l-c101+c002-c00r
　　　a02=c10r-c102+c001-c00l
　　　a11=c01l-c001+c112-c11r
　　　a12=c01r-c012+c111-c11l
　　b01=c101-c002,b02=c102-c001
　　b11=c011-c112,b12=c012-c111
　　h1i=ai1(pil-pi1),h2i=ai2(pir-pi2)
g1i=ai1pi1+bi1(pil-pi1)
g2i=ai2pi2+bi2(pir-pi2)
f1i=bi1pi1,f2i=bi2pi2
則經過一定的運算可以求得γ的α-截集為(γ)α［γα1,γα2］，其中

　(10)

得到γ的α-截集之后，若令

Fj=∫10γαjdα,j=1,2　(11)

則可利用TDC去模糊方法得到為

　(12)

　　方法4：按URI去模糊方法對γ作去模糊處理
　　j=1,2,i=0,1，若令

Fji=∫10ln(hjiα2+gjiα+fji)dα　(13)

則按URI去模糊方法可得到為

　(14)

　　在采用上述四種方法得到之后，若令

β=ln()　(15)

就將式(3)的決策融合規則變為

　(16)

　　式(16)就是在先驗概率和代價函數均模糊情況下，基于貝葉斯最小風險準則所推導出來的最優分布式決策融合規則，其門限β由式(15)所確定.由此可以得到下列結論：(1)無論采用哪種去模糊方法，最優決策融合規則仍是各檢測器決策的加權和與一門限之比較，這與先驗概率和代價函數為清晰值時的結構是一樣的；(2)與先驗概率和代價函數為清晰值時一樣，權重只是各檢測器檢測概率PDi和虛警概率PFi的函數；(3)在先驗概率和代價函數均為梯形模糊數時，門限除與最優融合準則、先驗概率和代價函數有關外，還與使用的去模糊方法有關.
　　在推導出決策融合模型之后，下面分析系統的性能.在一般情況下，融合中心的虛警概率和檢測概率的表達式是很難得到的.但是，當各個檢測器相同且工作在相同的工作點時，即對所有的i和j有PFi=PFj=PF和PDi=PDj=PD，則決策規則可以簡化，且也可得到虛警概率和檢測概率的表達式.設PfF和PfD分別表示融合中心的虛警概率和檢測概率，且令Pf10=PfF,Pf00=1-PfF,Pf01=1-PfD,Pf11=PfD，則融合中心的貝葉斯風險C為C=∑1j=0∑1i=0PjCijPfij,且C的α-截集為(C)α［Cα1,Cα2］，其中

利用TDC去模糊方法即可得到系統融合中心貝葉斯平均風險C的估值為

四、舉　　例
　　在各傳感器及其工作點相同的條件下，對本文提出的四種方法進行了仿真比較，得到的結果如表1所示，其中的n,PF和PD分別表示檢測器個數、檢測器的虛警概率和檢測概率，“狀態1”至“狀態4”的含義如表2所示.除表1給出的結果外，還進行了大量的仿真.由仿真結果可以得出以下一些結論：(1)這四種融合算法的性能均與模糊先驗概率、模糊代價函數、檢測器性能和傳感器數量有關；(2)在先驗概率和代價函數均為梯形模糊數的情況下，“方法2”(即采用TDC去模糊方法直接對各先驗概率和代價函數去模糊)的性能優于其它三種方法的性能，可以作為先驗概率和代價函數均為梯形模糊數情況下分布式決策融合的首選方法；(3)在虛警概率比較小和檢測概率比較大的情況下，四種方法可以得到幾乎一致的結果，因此，本文的方法特別適宜于各檢測器性能不夠好的場合；(4)盡管四種方法所得的門限一般是不相同的，但在許多情況下，四種方法又可以得到一樣的結果，這說明融合系統能提高系統的魯棒性；(5)用TDC去模糊方法對γ作去模糊處理所得結果不如用TDC去模糊方法直接對模糊先驗概率和代價函數作去模糊處理所得結果，這說明TDC去模糊方法比較適合于對梯形模糊數作去模糊處理.

表1　四種方法的仿真結果比較

仿真條件				貝葉斯風險估值
Pj、Cij	n	PF	PD	方法1	方法2	方法3	方法4
狀態1	3	0.1	0.6	4.9373×105	4.8333×105	4.8333×105	4.8333×105
狀態1	4	0.1	0.7	4.8333×105	4.8062×105	4.8062×105	4.8333×105
狀態1	3	0.01	0.6	4.8333×105	4.8333×105	4.9903×105	4.8333×105
狀態2	3	0.1	0.6	4.5504×105	4.5171×105	4.5171×105	4.5504×105
狀態2	4	0.1	0.7	4.3792×105	4.3792×105	4.5085×105	4.3792×105
狀態2	3	0.01	0.6	4.5504×105	4.4456×105	4.4456×105	4.5504×105
狀態3	3	0.1	0.6	1.9482×105	1.8958×105	1.9482×105	1.8958×105
狀態3	3	0.01	0.6	3.2381×105	3.2381×105	3.2381×105	3.2381×105
狀態4	5	0.1	0.6	6.0199×104	5.9023×104	6.0199×104	6.0199×104
狀態4	3	0.01	0.6	5.1625×104	5.1625×104	6.0687×104	5.1625×104