補(bǔ)碼(two's complement)

　　1、在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，數(shù)值一律用補(bǔ)碼來(lái)表示（存儲(chǔ)）。 　　主要原因：使用補(bǔ)碼，可以將符號(hào)位和其它位統(tǒng)一處理；同時(shí)，減法也可按加法來(lái)處理。另外，兩個(gè)用補(bǔ) 　　碼表示的數(shù)相加時(shí)，如果最高位（符號(hào)位）有進(jìn)位，則進(jìn)位被舍棄。 　　2、補(bǔ)碼與原碼的轉(zhuǎn)換過(guò)程幾乎是相同的。 　　求給定數(shù)值的補(bǔ)碼表示分以下兩種情況：

（1）正數(shù)的補(bǔ)碼

　　與原碼相同。 　　【例1】+9的補(bǔ)碼是00001001。

（2）負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼

　　符號(hào)位為1，其余位為該數(shù)絕對(duì)值的原碼按位取反；然后整個(gè)數(shù)加1。 　　【例2】求-7的補(bǔ)碼。 　　因?yàn)榻o定數(shù)是負(fù)數(shù)，則符號(hào)位為“1”。 　　后七位：+7的原碼（0000111）→按位取反（1111000）→加1（1111001） 　　所以-7的補(bǔ)碼是11111001。 　　已知一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼，求原碼的操作分兩種情況： 　?。?）如果補(bǔ)碼的符號(hào)位為“0”，表示是一個(gè)正數(shù)，其原碼就是補(bǔ)碼。 　?。?）如果補(bǔ)碼的符號(hào)位為“1”，表示是一個(gè)負(fù)數(shù)，那么求給定的這個(gè)補(bǔ)碼的補(bǔ)碼就是要求的原碼。 　　另一種方法求負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼如下： 　　例如：求-15的補(bǔ)碼 　　第一步：+15：00001111 　　第二步：逐位取反（1變成0，0變成1），然后在末尾加1。 　　11110001 　　再舉一個(gè)例子驗(yàn)證下：求-64的補(bǔ)碼 　　+64：01000000 　　11000000 　　【例3】已知一個(gè)補(bǔ)碼為11111001，則原碼是10000111（-7）。 　　因?yàn)榉?hào)位為“1”，表示是一個(gè)負(fù)數(shù)，所以該位不變，仍為“1”。 　　其余七位1111001取反后為0000110； 　　再加1，所以是10000111。 　　在“閑扯原碼、反碼、補(bǔ)碼”文件中，沒(méi)有提到一個(gè)很重要的概念“?！?。我在這里稍微介紹一下“模” 　　的概念： 　　“?！笔侵敢粋€(gè)計(jì)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)范圍。如時(shí)鐘等。計(jì)算機(jī)也可以看成一個(gè)計(jì)量機(jī)器，它也有一個(gè)計(jì)量范 　　圍，即都存在一個(gè)“?！薄＠纾? 　　時(shí)鐘的計(jì)量范圍是0～11，模=12。 　　表示n位的計(jì)算機(jī)計(jì)量范圍是0～2^(n)-1，模=2^(n)。 　　“模”實(shí)質(zhì)上是計(jì)量器產(chǎn)生“溢出”的量，它的值在計(jì)量器上表示不出來(lái)，計(jì)量器上只能表示出模的 　　余數(shù)。任何有模的計(jì)量器，均可化減法為加法運(yùn)算。 　　例如： 假設(shè)當(dāng)前時(shí)針指向10點(diǎn)，而準(zhǔn)確時(shí)間是6點(diǎn)，調(diào)整時(shí)間可有以下兩種撥法： 　　一種是倒撥4小時(shí)，即：10-4=6 　　另一種是順撥8小時(shí)：10+8=12+6=6 　　在以12模的系統(tǒng)中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運(yùn)算，都可以用加8來(lái)代替。 　　對(duì)“?！倍?，8和4互為補(bǔ)數(shù)。實(shí)際上以12模的系統(tǒng)中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個(gè)特 　　性。共同的特點(diǎn)是兩者相加等于模。 　　對(duì)于計(jì)算機(jī)，其概念和方法完全一樣。n位計(jì)算機(jī)，設(shè)n=8， 所能表示的最大數(shù)是11111111，若再 　　加1稱為100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進(jìn)制系統(tǒng)的 　　模為2^8。 在這樣的系統(tǒng)中減法問(wèn)題也可以化成加法問(wèn)題，只需把減數(shù)用相應(yīng)的補(bǔ)數(shù)表示就可以 　　了。把補(bǔ)數(shù)用到計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)的處理上，就是補(bǔ)碼。 　　另外兩個(gè)概念 　　一的補(bǔ)碼(one's complement) 指的是正數(shù)=原碼,負(fù)數(shù)=反碼 　　而二的補(bǔ)碼(two's complement) 指的就是通常所指的補(bǔ)碼。

(3).補(bǔ)碼的絕對(duì)值（稱為真值）

　　【例4】-65的補(bǔ)碼是10111111 　　若直接將10111111轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制，發(fā)現(xiàn)結(jié)果并不是-65，而是191。 　　事實(shí)上，在計(jì)算機(jī)內(nèi)，如果是一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，其最左邊的位是1，則我們可以判定它為負(fù)數(shù)，并且是用補(bǔ)碼表示。 　　若要得到一個(gè)負(fù)二進(jìn)制數(shù)的絕對(duì)值（稱為真值），只要各位（包括符號(hào)位）取反，再加1，就得到真值。 　　如：二進(jìn)制值：10111111（-65的補(bǔ)碼） 　　各位取反：01000000 　　加1：01000001（+65的補(bǔ)碼）

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代數(shù)加減運(yùn)算

1、補(bǔ)碼加法

　　[X+Y]補(bǔ) = [X]補(bǔ) + [Y]補(bǔ) 　　【例5】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]補(bǔ) 　　[X]補(bǔ)=00110011 [Y]補(bǔ)=11010111 　　[X+Y]補(bǔ) = [X]補(bǔ) + [Y]補(bǔ) = 00110011+11010111=00001010 　　注：因?yàn)橛?jì)算機(jī)中運(yùn)算器的位長(zhǎng)是固定的，上述運(yùn)算中產(chǎn)生的最高位進(jìn)位將丟掉，所以結(jié)果不是 　　100001010，而是00001010。

2、補(bǔ)碼減法

　　[X-Y]補(bǔ) = [X]補(bǔ) - [Y]補(bǔ) = [X]補(bǔ) + [-Y]補(bǔ) 　　其中[-Y]補(bǔ)稱為負(fù)補(bǔ)，求負(fù)補(bǔ)的方法是：所有位（包括符號(hào)位）按位取反；然后整個(gè)數(shù)加1。 　　【例6】1+（-1） [十進(jìn)制] 　　1的原碼00000001 轉(zhuǎn)換成補(bǔ)碼：00000001 　　-1的原碼10000001 轉(zhuǎn)換成補(bǔ)碼：11111111 　　1+（-1）=0 　　00000001+11111111=00000000 　　00000000轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制為0 　　0=0所以運(yùn)算正確。

3、補(bǔ)碼乘法

　　設(shè)被乘數(shù)【X】補(bǔ)=X0.X1X2……Xn-1，乘數(shù)【Y】補(bǔ)=Y0.Y1Y2……Yn-1, 　　【X*Y】補(bǔ)=【X】補(bǔ)×【Y】補(bǔ)，即乘數(shù)（被乘數(shù)）相乘的補(bǔ)碼等于補(bǔ)碼的相乘。

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補(bǔ)碼的代數(shù)解釋

　　任何一個(gè)數(shù)都可以表示為-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a; 　　這個(gè)假設(shè)a為正數(shù)，那么-a就是負(fù)數(shù)。而根據(jù)二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制數(shù)的方法，我們可以把a(bǔ)表示為：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2) 　　這里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，而且這里設(shè)a的二進(jìn)制位數(shù)為n位，即其模為2^(n-1),而2^(n-1)其二項(xiàng)展開(kāi)是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)，而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)兩式，2^(n-1)-a＝(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而這步轉(zhuǎn)化正是取反再加1的規(guī)則的代數(shù)原理所在。因?yàn)檫@里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的運(yùn)算就是二進(jìn)制下的取反，而為什么要加1，追溯起來(lái)就是2^(n-1)的二項(xiàng)展開(kāi)式最后還有一項(xiàng)1的緣故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，還有-2^(n-1)這項(xiàng)未解釋，這項(xiàng)就是補(bǔ)碼里首位的1，首位1在轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制時(shí)要乘上2^(n-1)，這正是n位二進(jìn)制的模。 　　不能貼公式，所以看起來(lái)很麻煩，如果寫(xiě)成代數(shù)式子看起來(lái)是很方便的。 　　注：n位二進(jìn)制，最高位為符號(hào)位，因此表示的數(shù)值范圍-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模為2^(n-1)。上面提到的8位二進(jìn)制模為2^8是因?yàn)樽罡呶环欠?hào)位，表示的數(shù)值范圍為0——2^8-1。 　　C語(yǔ)言中，就是用補(bǔ)碼進(jìn)行存儲(chǔ)和運(yùn)算的。