浮點數與定點數表示法是我們在計算機中常用的表示方法 所以必須要弄懂原理，特別是在FPGA里面，由于FPGA不能像在MCU一樣直接用乘除法。

定點數

首先說一下簡單的定點數，定點數是克服整數表示法不能表示實數的缺陷，那么我們就可以通過將實數乘上一個分數來實現，當然要是分數就是2^-i倍數，那么我們的定點數表示法就是精確的表示，但是很不幸我們自然界中的樹并不是那么湊巧。所以定點數只能是近視表示實數，包括浮點法也是這樣的。具體的實現就是將表示成2進制后，然后在左移k位，那么對于N為的定點數表示法中，就有N-1-K表示整數部分，低k位表示分數，最高位表示符號。

定點數表達法的缺點在于其形式過于僵硬，固定的小數點位置決定了固定位數的整數部分和小數部分，不利于同時表達特別大的數或者特別小的數。

浮點數

浮點數表示法更為復雜，這種表達方式利用科學計數法來表達實數，即用一個尾數（Mantissa ），一個基數（Base），一個指數（Exponent）以及一個表示正負的符號來表達實數。比如 123.45 用十進制科學計數法可以表達為 1.2345 × 102 ，其中 1.2345 為尾數，10 為基數，2 為指數。浮點數利用指數達到了浮動小數點的效果，從而可以靈活地表達更大范圍的實數。

提示: 尾數有時也稱為有效數字（Significand）。尾數實際上是有效數字的非正式說法。

在 IEEE 標準中，浮點數是將特定長度的連續字節的所有二進制位分割為特定寬度的符號域，指數域和尾數域三個域，其中保存的值分別用于表示給定二進制浮點數中的符號，指數和尾數。這樣，通過尾數和可以調節的指數（所以稱為"浮點"）就可以表達給定的數值了。具體的格式參見下面的圖例：

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上圖中可以看出S表示符號位，EXponent表示指數位，也就是“浮動”的指數位，指數的范圍在32位的系統中（0-2^8 -1）/2 也就是0-127，在double型位2^11位浮動指數。

指數域中，對應于我們之前介紹的二進制科學計數法中的指數部分。其中單精度數為 8 位，雙精度數為 11 位。以單精度數為例，8 位的指數為可以表達 0 到 255 之間的 255 個指數值。但是，指數可以為正數，也可以為負數。為了處理負指數的情況，實際的指數值按要求需要加上一個偏差（Bias）值作為保存在指數域中的值，單精度數的偏差值為 127，而雙精度數的偏差值為 1023。比如，單精度的實際指數值 0 在指數域中將保存為 127；而保存在指數域中的 64 則表示實際的指數值 -63。 偏差的引入使得對于單精度數，實際可以表達的指數值的范圍就變成 -127 到 128 之間（包含兩端）。我們不久還將看到，實際的指數值 -127（保存為 全 0）以及 +128（保存為全 1）保留用作特殊值的處理。這樣，實際可以表達的有效指數范圍就在 -127 和 127 之間。在本文中，最小指數和最大指數分別用 emin 和 emax 來表達。

圖例中的第三個域為尾數域，其中單精度數為 23 位長，雙精度數為 52 位長。除了我們將要講到的某些特殊值外，IEEE 標準要求浮點數必須是規范的。這意味著尾數的小數點左側必須為 1，因此我們在保存尾數的時候，可以省略小數點前面這個 1，從而騰出一個二進制位來保存更多的尾數。這樣我們實際上用 23 位長的尾數域表達了 24 位的尾數。比如對于單精度數而言，二進制的 1001.101（對應于十進制的 9.625）可以表達為 1.001101 × 23，所以實際保存在尾數域中的值為 00110100000000000000000，即去掉小數點左側的 1，并用 0 在右側補齊。

注：單精度浮點型所謂的7.2位精度就是指的是有效位的范圍，因為單精度浮點可以表達的最大指數為 2^24 - 1 = 16,777,215這個數就是有效位的最大表示數字了，超過這個數的就要進行取舍。

參考：

IEEE 754 Floating-Point Format
IEEE 754 FLOATING POINT REPRESENTATION