巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。 在振幅的對數對角頻率的波特圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減少，趨向負無窮大。

一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝、三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝、如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調下降，并且也是唯一的無論階數，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低級數的振幅對角頻率有不同的形狀。

設計步驟

如設計一個數字低通濾波器，其技術指標為：

通帶臨界頻率fp ，通帶內衰減小于rp；

阻帶臨界頻率fs，阻帶內衰減大于αs；采樣頻率為FS

1、將指標變為角頻率 wp=fp*2*pi;ws= fs*2*pi;

2、將數字濾波器的頻率指標{Wk}由wk=（2/T）tan（Wk/2）轉換為模擬濾波器的頻率指標{wk}，由于是用雙線性不變法設計，故先采取預畸變。

3、將高通指標轉換為低通指標，進而設計高通的s域模型

4、歸一化處理

由以上三式計算出N，查表可得模擬低通濾波器的階數，從而由下式確定模擬高通濾波器的參數。

仿真程序的設計與調試

數字域指標變換成模擬域指標

其程序為：

fp = 400 fs= 300;

Rp = 1; Rs = 20;

wp =fp*2*pi;

ws =fs*2*pi;

FS=1000;T=1/FS；

程序執行結果為：wp=2.5133e+003 ws=1.8850e+003 與實際計算結果相符。

數字域頻率進行預畸變

其程序為：

wp2=2*tan（Wp/2）/T;

ws2=2*tan（Ws/2）/T;

經過預畸變，可以發現頻率變為： wp2= 6.1554e+003

ws2= 2.7528e+003

模擬濾波器的設計

其程序為

%設計模擬濾波器

［N，Wn］ = buttord（wp2，ws2，Rp，Rs，‘s’）

武漢理工大學《數字信號處理》報告

9

［z，p，k］=buttap（N）; %創建Buttord低通濾波器原型

［Bap，Aap］=zp2tf（z，p，k）; %由零極點轉換為傳遞函數的形式

figure（1） freqs（Bap，Aap）; %模擬低通濾波器的頻率響應

title（‘模擬濾波器（低通原型）的頻率響應’）

［Bbs，Abs］=lp2hp（Bap，Aap，Wn）; %模擬低通變高通

figure（2）

freqs（Bbs，Abs）;

title（‘模擬濾波器的頻率響應’）

程序執行后可以發現其頻率響應為： N=4，其波形如下圖

模擬濾波器的頻率響應

由上圖分析可得：其符合高通的一般特征，與預期的效果一樣。 而在此條件下，Butterworth濾波器低通原型的波形如下圖。

模擬濾波器（低通原型）的頻率響應

在設計的過程中，涉及一個頻率變換的問題，即將模擬低通原型變為高通，其函數及用法如下：

［b，a］=lp2hp（Bap，Aap，Wn）;

功能：把模擬濾波器原型轉換成截至頻率為 Wn 的高通濾波器。 其中，Bap，Aap分別為低通傳遞函數的分子向量和分母向量；

b，a分別為高通傳遞函數的分子向量和分母向量。

模擬濾波器變成數字濾波器

其程序為：

［Bbz，Abz］=bilinear（Bbs，Abs，FS）; %用雙線性變換法設計數字濾波器 freqz（Bbz，Abz，512，FS）;

程序運行的結果為：如下圖

數字濾波器的頻率響應

由于使用的是雙線性不變法設計的，其相位為非線性。此處主要是基于要獲得嚴格的頻率響應，以及較準確地控制截止頻率的位置，故畫出了詳細的幅頻響應。（如下圖）

詳細的幅頻響應

分析該圖可知其在0.6（即300Hz）處的衰減為40dB，而在0.8（即400Hz）處的衰減極小，應小于1dB。由此可見，此設計符合要求設計的參數。

而在調試的過程中發現：通帶衰減越小，濾波器的性能越好 阻帶衰減越大，濾波器的性能越好 其曲線也越陡峭，選擇性越好，當然所用的濾波器階數也越高。

當阻帶衰減變為40dB（之前為20dB），通帶不變時，其波形如下圖。對比上圖可知，其在阻帶臨界頻率處衰減變為了40dB，曲線變陡峭了。

詳細的幅頻響應（阻帶衰減為40dB）

當通帶變為5dB時，阻帶不變時，其波形如下圖。對比圖3-3可知，其在通帶處的衰減變為了5dB，曲線平滑了一些。

詳細的幅頻響應（通帶衰減為5dB）

理論計算數字濾波器的仿真

wp=0.8*pi;

ws=0.6*pi;

OmegaP=2*1000*tan（wp/2）;

OmegaS=2*1000*tan（ws/2）;

lamdas=OmegaP/OmegaS;

N=0.5*log10（（10.^（20/10）-1）/（10.^（1/10）-1））/log10（lamdas）;

%筆算的結果為N=3.6947；故取N=4 %

此處為計算高通的傳遞函數 Wn= 4.8890e+003 az=［0 0 0 0 1］;

bz=［1 2.613 3.414，2.613，1］; ［Bbs，Abs］=lp2hp（az，bz，Wn） %用雙線性不變法處理

［Bbz，Abz］=bilinear（Bbs，Abs，1000）; 其運行結果為：N=3.6947；圖形如下圖

理論計算的濾波器的幅頻響應

綜上所述，本濾波器以四階即實現了預期的設計目標：采樣頻率為1000Hz，通帶臨界頻率fp =400Hz，通帶內衰減小于1dB（αp=1）；阻帶臨界頻率fs=300Hz，阻帶內衰減大于20dB（αs=25），其在通帶內的性能更好。