什么是自適應濾波器

　　自適應濾波器是能夠根據輸入信號自動調整性能進行數字信號處理的數字濾波器。作為對比，非自適應濾波器有靜態的濾波器系數，這些靜態系數一起組成傳遞函數。

　　對于一些應用來說，由于事先并不知道所需要進行操作的參數，例如一些噪聲信號的特性，所以要求使用自適應的系數進行處理。在這種情況下，通常使用自適應濾波器，自適應濾波器使用反饋來調整濾波器系數以及頻率響應。

　　總的來說，自適應的過程涉及到將代價函數用于確定如何更改濾波器系數從而減小下一次迭代過程成本的算法。價值函數是濾波器最佳性能的判斷準則，比如減小輸入信號中的噪聲成分的能力。

　　隨著數字信號處理器性能的增強，自適應濾波器的應用越來越常見，時至今日它們已經廣泛地用于手機以及其它通信設備、數碼錄像機和數碼照相機以及醫療監測設備中。

　　下面圖示的框圖是最小均方濾波器（LMS）和遞歸最小平方（en:Recursive least squares filter，RLS，即我們平時說的最小二乘法）這些特殊自適應濾波器實現的基礎。框圖的理論基礎是可變濾波器能夠得到所要信號的估計。

　　自適應濾波器有4種基本應用類型：

　　1） 系統辨識：這時參考信號就是未知系統的輸出，當誤差最小時，此時自適應濾波器就與未知系統具有相近的特性，自適應濾波器用來提供一個在某種意義上能夠最好擬合未知裝置的線性模型

　　2） 逆模型：在這類應用中，自適應濾波器的作用是提供一個逆模型，該模型可在某種意義上最好擬合未知噪聲裝置。理想地，在線性系統的情況下，該逆模型具有等于未知裝置轉移函數倒數的轉移函數，使得二者的組合構成一個理想的傳輸媒介。該系統輸入的延遲構成自適應濾波器的期望響應。在某些應用中，該系統輸入不加延遲地用做期望響應。

　　3） 預測：在這類應用中，自適應濾波器的作用是對隨機信號的當前值提供某種意義上的一個最好預測。于是，信號的當前值用作自適應濾波器的期望響應。信號的過去值加到濾波器的輸入端。取決于感興趣的應用，自適應濾波器的輸出或估計誤差均可作為系統的輸出。在第一種情況下，系統作為一個預測器；而在后一種情況下，系統作為預測誤差濾波器。

　　4） 干擾消除：在一類應用中，自適應濾波器以某種意義上的最優化方式消除包含在基本信號中的未知干擾。基本信號用作自適應濾波器的期望響應，參考信號用作濾波器的輸入。參考信號來自定位的某一傳感器或一組傳感器，并以承載新息的信號是微弱的或基本不可預測的方式，供給基本信號上。

　　這也就是說，得到期望輸出往往不是引入自適應濾波器的目的，引入它的目的是得到未知系統模型、得到未知信道的傳遞函數的倒數、得到未來信號或誤差和得到消除干擾的原信號。

　　自適應濾波通俗點講就是混合信號向期望信號的逼近。在逼近的過程中，根據觀測信號與真實（期望）信號的均放誤差（MSE）為量化指標，按照一定規則進行迭代（迭代規則自己可以設定），直到算法收斂（收斂條件有很多，比如達到預先設定的迭代次數、或達到允許的誤差等）。現有的常見自適應算法有RLS，LMS，NLMS，往往都是按照梯度下降法或牛頓法進行迭代。

　　算法背景

　　經典的濾波算法包括維納濾波，卡爾曼濾波，這些濾波算法都需要對輸入信號的相關系數，噪聲功率等參數進行估計，而實際中很難實現這些參數的準確估計，而這些參數的準確估計直接影響到濾波器的濾波效果。另一方面，這兩類濾波器一般設計完成，參數便不可改變，實際應用中，希望濾波器的參數能夠隨著輸入信號的變化而改變，以取得較好的實時性處理效果。為了彌補傳統濾波算法的不足，滿足信號處理的要求，又發展了自適應濾波。

　　算法基本原理

　　自適應濾波與維納濾波，卡爾曼濾波最大的區別在于，自適應濾波在輸出與濾波系統之間存在有反饋通道，根據某一時刻濾波器的輸出與期望信號的誤差調整濾波器的系數，從而實現濾波器系數的動態調整，實現最優濾波。

　　（1）信號模型

　　自適應濾波的目的仍然是從觀測信號中提取真實準確的期望信號，因此涉及到的信號有：

　　期望信號 d（n）

　　輸入信號 x（n）=d（n）+v（n）

　　輸出信號 y（n）

　　（2）算法原理

　　一個M階濾波器，系數為w（m），則輸出為：

　　y（n）=Σw（m）x（n-m） m=0…M

　　寫成矩陣形式： y（j）=WT（j）*X（j）

　　n時刻的輸出誤差為： e（j）=d（j）-y（j）= d（j）- WT（j）*X（j）

　　定義目標函數為 E［e（j）^2］，則有：

　　J（j）=E［e（j）^2］= E［（d（j）- WT（j）*X（j））^2］

　　當上述誤差達到最小時，即實現最優濾波，這種目標函數確定的為最小方差自適應濾波。

　　對于目標函數J（j），需要求得使其取到最小值對應的W，這里使用梯度下降法進行最優化：

　　W（j+1）=W（j）+1/2*μ（-▽J（j））

　　▽J（j）=-2E［X（j）*（ d（j）- WT（j）*X（j））］= -2E［X（j）e（j）］

　　W（j+1）=W（j）+μE［X（j）e（j）］

　　其中-2X（j）e（j）稱為瞬時梯度，因為瞬時梯度是真實梯度的無偏估計，這里可以使用瞬時梯度代替真實梯度。

　　W（j+1）=W（j）+μX（j）e（j）

　　由此，可以得到自適應濾波最佳系數的迭代公式。