c語言相關的重要知識點

P01： 01背包問題

題目

有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的費用是c［i］，價值是w［i］。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

基本思路

這是最基礎的背包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

用子問題定義狀態：即f［i］［v］表示前i件物品恰放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：

f［i］［v］=max{f［i-1］［v］，f［i-1］［v-c［i］］+w［i］}

這個方程非常重要，基本上所有跟背包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細解釋一下：“將前i件物品放入容量為v的背包中”這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那么就可以轉化為一個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那么問題就轉化為“前i-1件物品放入容量為v的背包中”，價值為f［i-1］［v］；如果放第i件物品，那么問題就轉化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-c［i］的背包中”，此時能獲得的最大價值就是f［i-1］［v-c［i］］再加上通過放入第i件物品獲得的價值w［i］。

優化空間復雜度

以上方法的時間和空間復雜度均為O（VN），其中時間復雜度應該已經不能再優化了，但空間復雜度卻可以優化到O。

先考慮上面講的基本思路如何實現，肯定是有一個主循環i=1..N，每次算出來二維數組f［i］［0..V］的所有值。那么，如果只用一個數組f［0..V］，能不能保證第i次循環結束后f［v］中表示的就是我們定義的狀態f［i］［v］呢？f［i］［v］是由f［i-1］［v］和f［i-1］［v-c［i］］兩個子問題遞推而來，能否保證在推f［i］［v］時（也即在第i次主循環中推f［v］時）能夠得到f［i-1］［v］和f［i-1］［v-c［i］］的值呢？事實上，這要求在每次主循環中我們以v=V..0的順序推f［v］，這樣才能保證推f［v］時f［v-c［i］］保存的是狀態f［i-1］［v-c［i］］的值。偽代碼如下：

for i=1..N

for v=V..0

f［v］=max{f［v］，f［v-c［i］］+w［i］};

其中的f［v］=max{f［v］，f［v-c［i］］}一句恰就相當于我們的轉移方程f［i］［v］=max{f［i-1］［v］，f［i-1］［v-c［i］］}，因為現在的f［v-c［i］］就相當于原來的f［i-1］［v-c［i］］。如果將v的循環順序從上面的逆序改成順序的話，那么則成了f［i］［v］由f［i］［v-c［i］］推知，與本題意不符，但它卻是另一個重要的背包問題P02最簡捷的解決方案，故學習只用一維數組解01背包問題是十分必要的。

事實上，使用一維數組解01背包的程序在后面會被多次用到，所以這里抽象出一個處理一件01背包中的物品過程，以后的代碼中直接調用不加說明。

過程ZeroOnePack，表示處理一件01背包中的物品，兩個參數cost、weight分別表明這件物品的費用和價值。

procedure ZeroOnePack（cost，weight）

for v=V..cost

f［v］=max{f［v］，f［v-cost］+weight}

注意這個過程里的處理與前面給出的偽代碼有所不同。前面的示例程序寫成v=V..0是為了在程序中體現每個狀態都按照方程求解了，避免不必要的思維復雜度。而這里既然已經抽象成看作黑箱的過程了，就可以加入優化。費用為cost的物品不會影響狀態f［0..cost-1］，這是顯然的。

有了這個過程以后，01背包問題的偽代碼就可以這樣寫：

for i=1..N

ZeroOnePack（c［i］，w［i］）;

初始化的細節問題

我們看到的求最優解的背包問題題目中，事實上有兩種不太相同的問法。有的題目要求“恰好裝滿背包”時的最優解，有的題目則并沒有要求必須把背包裝滿。一種區別這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不同。

如果是第一種問法，要求恰好裝滿背包，那么在初始化時除了f［0］為0其它f［1..V］均設為-∞，這樣就可以保證最終得到的f［N］是一種恰好裝滿背包的最優解。

如果并沒有要求必須把背包裝滿，而是只希望價格盡量大，初始化時應該將f［0..V］全部設為0。

為什么呢？可以這樣理解：初始化的f數組事實上就是在沒有任何物品可以放入背包時的合法狀態。如果要求背包恰好裝滿，那么此時只有容量為0的背包可能被價值為0的nothing“恰好裝滿”，其它容量的背包均沒有合法的解，屬于未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。如果背包并非必須被裝滿，那么任何容量的背包都有一個合法解“什么都不裝”，這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。

這個小技巧完全可以推廣到其它類型的背包問題，后面也就不再對進行狀態轉移之前的初始化進行講解。