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1.1 有限域（ Galois 域）的構造
令p 為一個素數。 則對任意的一個正整數n，存在一個特征為p，元素個數為pn 的有限域GF（pn）。
注： 任意一個有限域，其元素的個數一定為pn，其中p 為一個素數（有限域的特征）， n 為一個正整數。
例1（有限域GF（p）） 令p 為一個素數，集合GF（p）=Zp={0，1，2， ?p-，1}。在GF（p） 上定義加法⊕ 和乘法⊙ 分別為模p 加法和模p 乘法，即任意的a，b∈GF（p），a⊕b=（a+b）modp， a⊙b=（a？b）modp則《GF（p），⊕，⊙》 為一個有p 個元素的有限域，其中零元素為0，單位元為1.令a 為GF（p） 中的一個非零元素。 由于gcd（a，p）=1，因此，存在整數b，c，使得ab+pc=1. 由此得到a 的逆元為a- 1=bmodp.域GF（p） 稱為一個素域（prime field）。
?
例注1： 給定a 和p，例1 中的等式ab+pc=1 可以通過擴展的歐幾里得除法得到，從而求得GF（p） 中任意非零元素的逆元。
例2（有限域GF（pn）） 從GF（p） 出發，對任意正整數n，n≥2，我們可以構造元素元素個數為pn 的有限域GF（pn） 如下：
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