資料介紹
研究一個(gè)客觀事物,首先要回答描述這個(gè)客觀事物有哪些變量?人們常說對(duì)客觀事物進(jìn)行研究,實(shí)際上就是研究這些客觀事物中的變量及其變化規(guī)律。變化規(guī)律常用函數(shù)來表示,最簡單就是一元函數(shù) y ? f (x) ,一個(gè)自變量 x 與一個(gè)因變量 y 之間的函數(shù)。它是高等數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象。給定了一元函數(shù) y ? f (x) ,怎樣分析它的特性?是否連續(xù)、增長趨勢(shì)及快慢、有無極值點(diǎn)、函數(shù)曲線圍成的面積等等?逐一計(jì)算函數(shù)值,把函數(shù)圖形畫出來,可以大致了解函數(shù)的這些特性,這是初等數(shù)學(xué)能做到的。但是,怎樣嚴(yán)密準(zhǔn)確地描述這些特性?初等數(shù)學(xué)可以做到否?是何樣的數(shù)學(xué)工具能做到?這是本章的主要內(nèi)容。 2.1 極限客觀事物的變化趨勢(shì)是工程實(shí)際中最關(guān)心的問題。如果函數(shù) y ? f (x) 在整個(gè)實(shí)數(shù)域上都有定義,則自變量 x 只要取“有限”數(shù),總能根據(jù)函數(shù)式求出因變量 y 的值。因此,函數(shù)在有限區(qū)間的變化特性,可以通過求出每一點(diǎn)的函數(shù)值來研究。但是,如果自變量趨于無窮 x ? ? ,因變量 y 會(huì)怎樣?在那個(gè)不可企及的遙遠(yuǎn)之處,函數(shù)是個(gè)怎樣的表現(xiàn)?能否從數(shù)學(xué)意義上嚴(yán)密準(zhǔn)確地刻畫?這是一個(gè)“有點(diǎn)玄”的問題。另外,即便自變量是在有限區(qū)間取值,因變量的取值也可能會(huì)進(jìn)入“無窮”的領(lǐng)域,如當(dāng) x ?1時(shí), 1 1 y x ? ? ??。因此,無論是自變量還是因變量,當(dāng)它們?nèi)≈颠M(jìn)入“無窮” 領(lǐng)域時(shí),初等數(shù)學(xué)就難以從心了,因?yàn)槌醯葦?shù)學(xué)研究的是“有限”數(shù)及其運(yùn)算。再有,即便是“有限”數(shù)及其運(yùn)算,但需要進(jìn)行“無窮”次的話,初等數(shù)學(xué)也無力回答它最終結(jié)果。上述新問題必然要催生新概念,“極限”概念便應(yīng)運(yùn)而生。它是初等數(shù)學(xué)的方法與結(jié)論在高等數(shù)學(xué)的自然延伸。所以,怎樣用“有窮”的初等數(shù)學(xué)去解構(gòu)“無窮”帶來的問題,是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的分水嶺,是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)刻要警醒的,弄清楚這一點(diǎn)才不會(huì)感覺高等數(shù)學(xué)是“懸浮”的。
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