記得我還在大四的時候，在申請出國和保研中猶豫了好一陣，骨子里的保守最后讓我選擇了先保研。當然后來也退學了，不過這是后話。當時保研就要找老板，實驗室，自己運氣還不錯，進了一個在本校很牛逼的實驗室干活路。我們實驗室主要是搞圖像的，實力在全國也是很強的，進去后和師兄師姐聊，大家都在搞什么小波變換，H264之類的。當時的我心思都不在這方面，盡搞什么操作系統移植，ARM+FPGA這些東西了。對小波變換的認識也就停留在神秘的“圖像視頻壓縮算法之王”上面。 后來我才發現，在別的很廣泛的領域中，小波也逐漸開始流行。比如話說很早以前，我們接觸的信號頻域處理基本都是傅立葉和拉普拉斯的天下。但這些年，小波在信號分析中的逐漸興盛和普及。這讓人不得不感到好奇，是什么特性讓它在圖象壓縮，信號處理這些關鍵應用中更得到信賴呢?說實話，我還在國內的時候，就開始好奇這個問題了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文講小波變換的科普文章，發現沒幾個講得清楚的，當時好奇心沒那么重，也不是搞這個研究的，懶得找英文大部頭論文了，于是作罷。后來來了這邊，有些項目要用信號處理，不得已接觸到一些小波變換的東西，才開始硬著頭皮看。看了一些材料，聽了一些課，才發現，還是那個老生常談的論調：國外的技術資料和國內真TNND不是一個檔次的。同樣的事情，別人說得很清楚，連我這種并不聰明的人也看得懂; 國內的材料則繞來繞去講得一塌糊涂，除了少數天才沒幾個人能在短時間掌握的。 牢騷就不繼續發揮了。在這個系列文章里，我希望能簡單介紹一下小波變換，它和傅立葉變換的比較，以及它在移動平臺做motion detection的應用。如果不做特殊說明，均以離散小波為例子。考慮到我以前看中文資料的痛苦程度，我會盡量用簡單，但是直觀的方式去介紹。有些必要的公式是不能少的，但我盡量少用公式，多用圖。另外，我不是一個好的翻譯者，所以對于某些實在翻譯不清楚的術語，我就會直接用英語。我并不claim我會把整個小波變換講清楚，這是不可能的事，我只能盡力去圍繞要點展開，比如小波變換相對傅立葉變換的好處，這些好處的原因是什么，小波變換的幾個根本性質是什么，背后的推導是什么。我希望達到的目的就是一個小波變換的初學者在看完這個系列之后，就能用matlab或者別的工具對信號做小波變換的基本分析并且知道這個分析大概是怎么回事。 最后說明，我不是研究信號處理的專業人士，所以文中必有疏漏或者錯誤，如發現還請不吝賜教。 要講小波變換，我們必須了解傅立葉變換。要了解傅立葉變換，我們先要弄清楚什么是”變換“。很多處理，不管是壓縮也好，濾波也好，圖形處理也好，本質都是變換。變換的是什么東西呢?是基，也就是basis。如果你暫時有些遺忘了basis的定義，那么簡單說，在線性代數里，basis是指空間里一系列線性獨立的向量，而這個空間里的任何其他向量，都可以由這些個向量的線性組合來表示。那basis在變換里面啥用呢?比如說吧，傅立葉展開的本質，就是把一個空間中的信號用該空間的某個basis的線性組合表示出來，要這樣表示的原因，是因為傅立葉變換的本質，是。小波變換自然也不例外的和basis有關了。再比如你用Photoshop去處理圖像，里面的圖像拉伸，反轉，等等一系列操作，都是和basis的改變有關。 既然這些變換都是在搞基，那我們自然就容易想到，這個basis的選取非常重要，因為basis的特點決定了具體的計算過程。一個空間中可能有很多種形式的basis，什么樣的basis比較好，很大程度上取決于這個basis服務于什么應用。比如如果我們希望選取有利于壓縮的話，那么就希望這個basis能用其中很少的向量來最大程度地表示信號，這樣即使把別的向量給砍了，信號也不會損失很多。而如果是圖形處理中常見的線性變換，最省計算量的完美basis就是eigenvector basis了，因為此時變換矩陣T對它們的作用等同于對角矩陣( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。總的來說，拋開具體的應用不談，所有的basis，我們都希望它們有一個共同的特點，那就是，容易計算，用最簡單的方式呈現最多的信號特性。 好，現在我們對變換有了基本的認識，知道他們其實就是在搞基。當然，搞基也是分形式的，不同的變換，搞基的妙處各有不同。接下來先看看，傅立葉變換是在干嘛。 傅立葉級數最早是Joseph Fourier 這個人提出的，他發現，這個basis不僅僅存在與vector space，還存在于function space。這個function space本質上還是一個linear vector space，可以是有限的，可以是無限的，只不過在這個空間里，vector就是function了，而對應的標量就是實數或者復數。在vector space里，你有vector v可以寫成vector basis的線性組合，那在function space里，function f(x)也可以寫成對應function basis的線性組合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的(比如sin(t)和sin(2t))。唯一不同的是，我的function basis是無窮盡的，因為我的function space的維度是無窮的。好，具體來說，那就是現在我們有一個函數，f(x)。我們希望將它寫成一些cos函數和一些sin函數的形式，像這樣 ? ? again，這是一個無限循環的函數。其中的1，cosx, sinx, cos2x …..這些，就是傅立葉級數。傅立葉級數應用如此廣泛的主要原因之一，就是它們這幫子function basis是正交的，這就是有趣的地方了。為什么function basis正交如此重要呢?我們說兩個vector正交，那就是他倆的內積為0。那對于function basis呢?function basis怎么求內積呢? 現在先復習一下vector正交的定義。我們說兩個vector v,w如果正交的話，應符合： ? ? 那什么是function正交呢?假設我們有兩個函數f(x)和g(x)，那是什么?我們遵循vector的思路去想，兩個vector求內積，就是把他們相同位置上對應的點的乘積做一個累加。那移過來，就是對每一個x點，對應的f和g做乘積，再累加。不過問題是，f和g都是無限函數阿，x又是一個連續的值。怎么辦呢?向量是離散的，所以累加，函數是連續的，那就是…….積分!