有限帶寬信號(hào)的采樣和混疊分析

１引言
越來越多的應(yīng)用要求采樣模擬信號(hào)，將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，對(duì)數(shù)字信號(hào)做各種計(jì)算和處理，然后再將它們轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)。本文討論了如何采樣模擬信號(hào)并對(duì)其整形以保持原始信號(hào)的方法。 ２　基帶信號(hào)的采樣和混疊分析 先從有限帶寬信號(hào)著手討論，有限帶寬信號(hào)是指某個(gè)頻率點(diǎn)（截止頻點(diǎn)）之外的所有頻率的頻譜成分的幅度都為０的信號(hào)。如圖１中的ｇ(ｔ)，大于截止頻點(diǎn)α的頻率范圍內(nèi)的頻譜分量全部為０。在這種情況下，α也就是這個(gè)基帶信號(hào)的帶寬。對(duì)ｇ(ｔ)的采樣在數(shù)學(xué)上可以用以下方式表達(dá)：將ｇ(ｔ)乘以周期為Ｔ的沖激函數(shù)。ｇ(ｔ)在沖激點(diǎn)的信號(hào)值被采樣，而其它點(diǎn)的值都為０。從模擬信號(hào)角度來看，就是按頻率ｆＳＡＭＰＬＩＮＧ＝１／Ｔ對(duì)ｇ(ｔ)取樣。采樣后的信號(hào)ｓ(ｔ)可用以下公式表示：

?

?為了得到采樣后信號(hào)ｓ(ｔ)的頻譜，可對(duì)ｓ(ｔ)做傅立葉變換：

?沖激串函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示，如下式：

?此處的傅立葉系數(shù)為：

?

?上式中積分的上下限只由一個(gè)周期來決定。在保證等效的前提下，可以進(jìn)行以下變換：用從負(fù)無窮到正無窮的傅立葉積分代替上式中的積分，周期性的沖激函數(shù)用基頻沖激函數(shù)代替，則上式可改寫為：

?沖激串函數(shù)可用以下更方便做傅立葉變換的簡(jiǎn)化形式表示：

?考慮到一個(gè)信號(hào)可由它的傅立葉變換積分得到，如下式：

?可得到如下最終結(jié)果 根據(jù)以上結(jié)果，再重新考慮被采樣的基頻信號(hào)，它的傅立葉變換為：

?兩個(gè)信號(hào)Ａ(ｆ)和Ｂ(ｆ)的卷積定義為： 則Ｓ(ｆ)可改寫為: 上式就是我們常說的采樣定律。它表明在時(shí)域里按周期Ｔ采樣得到的信號(hào)會(huì)以１／Ｔ 的頻率重復(fù)原始信號(hào)的頻譜，如圖２所示。 為保留所有原始信號(hào)的信息，必須保證每一個(gè)重復(fù)頻譜之間不發(fā)生混疊。否則，就不可能從采樣信號(hào)中恢復(fù)出原始信號(hào)。混疊意味著高頻段掩蓋了低頻段信號(hào)，如圖３所示。為避免混疊，必須滿足以下條件：１／Ｔ≥２α或１／Ｔ≥２ＢＷ。也可用采樣頻率表示為： ｆＳＡＭＰＬＩＮＧ≥２ＢＷ 以上表明不會(huì)產(chǎn)生混疊的最小采樣頻率是２ＢＷ。這就是奈奎斯特采樣定律。

?圖３給出了被混疊的采樣信號(hào)。高頻信號(hào)分量ｆＨ疊加在低頻部分。設(shè)計(jì)時(shí)，通常用一個(gè)低通濾波器來恢復(fù)原始頻譜并將其它頻譜分量濾掉。當(dāng)使用截止頻率為α的低通濾波器恢復(fù)圖３信號(hào)時(shí)，它無法將混疊的高頻信號(hào)濾掉，從而造成信號(hào)的劣化。 ３　帶通信號(hào)的采樣和混疊分析 再來看另一種有限帶寬信號(hào)，帶通信號(hào)。帶通信號(hào)的低頻截止點(diǎn)不在０ＨＺ。圖４中的帶通信號(hào)的頻譜能量范圍在αＬ和αＵ之間，它的帶寬定義為αＵ－αＬ。帶通信號(hào)和基帶信號(hào)的主要差異就是帶寬的定義。基帶信號(hào)的帶寬等于它的高頻截止頻率，而帶通信號(hào)的帶寬等于高頻截止頻率和低頻截止頻率之差。由前面的討論可知，采樣信號(hào)以１／Ｔ 的周期重復(fù)原始信號(hào)的頻譜。因?yàn)檫@個(gè)頻譜實(shí)際上包括從０Ｈｚ到原始帶通信號(hào)低頻截止頻率之間的０幅值頻帶，所以實(shí)際的原始帶通信號(hào)帶寬要比αＵ小。

?這樣就可以在頻域做一定的頻率偏移，而采樣頻率也可以降低。為滿足奈奎斯特定律，一個(gè)實(shí)際帶寬為αＵ／２的原始帶通信號(hào)，其采樣頻率設(shè)為αＵ即可，采樣信號(hào)的頻譜如圖５所示。這樣的采樣沒有產(chǎn)生混疊，因此如果有理想的帶通濾波器，可完全恢復(fù)出原始信號(hào)。在本例中，基帶和帶通信號(hào)的差別非常重要。對(duì)于基帶信號(hào)，帶寬和相應(yīng)的采樣頻率只由高頻截止點(diǎn)決定。而帶通信號(hào)的帶寬通常都要比高頻截止頻率小。 ４ 采樣方式及結(jié)果分析 以上特性決定了從采樣信號(hào)恢復(fù)原始信號(hào)的不同方法。對(duì)于高頻截止點(diǎn)相同的基帶信號(hào)和帶通信號(hào)，只要采用合適的帶通濾波器，帶通信號(hào)的采樣頻率就可以降低（圖５中的白色矩形部分）。而低通濾波器在這種情況下無法恢復(fù)出原始信號(hào)，由圖５可明顯看出，陰影部分仍然包含在恢復(fù)信號(hào)頻譜中。所以如果要用低通濾波器恢復(fù)圖５中的帶通信號(hào)，采樣頻率必須在２αＵ以上以避免混疊。有限帶寬信號(hào)必須在滿足奈奎斯特定律的情況下才能被完全恢復(fù)。對(duì)于帶通信號(hào)，用帶通濾波器時(shí)，采用奈奎斯特采樣頻率可避免混疊。否則就必須使用更高的采樣頻率。在實(shí)際應(yīng)用中選擇ＡＤＣ和ＤＡＣ時(shí)，這一點(diǎn)很重要。 還要注意的是對(duì)有限帶寬信號(hào)的假設(shè)。從數(shù)學(xué)上分析，一個(gè)信號(hào)不可能是真正有限帶寬的。傅立葉變換定律告訴我們，如果一個(gè)信號(hào)在時(shí)域是有限的，則它的頻譜就會(huì)擴(kuò)展到無窮大，如果它的帶寬是有限的，則它在時(shí)域上就是無限的。很顯然，我們找不到一個(gè)具有無窮大周期的時(shí)域信號(hào)，所以也不可能有真正的有限帶寬信號(hào)。不過絕大部分實(shí)際信號(hào)的頻譜能量都集中在有限帶寬中，因此前面的分析對(duì)這些信號(hào)仍然有效。采樣正弦信號(hào)可以非常簡(jiǎn)單和方便地檢測(cè)出采樣頻率是否偏低，因?yàn)榛殳B現(xiàn)象是采樣頻率偏低所特有的現(xiàn)象。正弦信號(hào)的頻譜里的（沖激串函數(shù)）尖峰只在相應(yīng)的頻率點(diǎn)出現(xiàn)，出現(xiàn)混疊時(shí)，尖峰會(huì)移到另一個(gè)頻率點(diǎn)，這一點(diǎn)對(duì)應(yīng)著混疊信號(hào)。 以下測(cè)試結(jié)果是用Ｍａｘｉｍ公司最新推出的１２５Ｍｓｐｓ、１２位ＡＤＣ：ＭＡＸ１９５４１測(cè)試得出的。圖６是它的輸出信號(hào)頻譜，對(duì)應(yīng)的輸入信號(hào)頻率ｆＩＮ＝１１．５２８４ＭＨｚ。很明顯，最高的尖峰恰好出現(xiàn)在該頻率點(diǎn)上。頻譜圖里還有其他一些較小的尖峰，它們是由ＡＤＣ的非線性引起的諧波造成的，和本文的討論主題無關(guān)。由于采樣頻率ｆＳＡＭＰＬＥ ＝ １２５ＭＨｚ，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于奈奎斯特定律要求的輸入信號(hào)頻率的２倍，因此沒有混疊現(xiàn)象。如果將輸入頻率提高到ｆＩＮ ＝ １８３．４８５６ＭＨｚ，大于ｆＳＡＭＰＬＥ／２，此時(shí)應(yīng)該會(huì)有混疊出現(xiàn)。圖７是ｆＩＮ＞ｆＳＡＭＰＬＥ／２時(shí)的輸出頻譜圖，主尖峰落在５８．４８ＭＨｚ處，這就是混疊信號(hào)。也就是說，在５８．４８ＭＨｚ出現(xiàn)了一個(gè)原始信號(hào)不包含的信號(hào)。在圖６和圖７中都只給出了奈奎斯特頻率以下的頻譜，因?yàn)轭l譜是周期性的，圖中的顯示部分已經(jīng)包含了所有必要信息。 圖6和圖7

?５ 結(jié)論

以上測(cè)試結(jié)果表明?采樣定律是信號(hào)采樣應(yīng)用的基本工具，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析對(duì)于應(yīng)用中的參數(shù)選擇也很重要。