找出與反射系數(shù)對(duì)應(yīng)的元件值(尤其是匹配網(wǎng)絡(luò)的元件，見(jiàn)圖7)

推論因?yàn)槭访芩箞A圖是一種基于圖形的解法，所得結(jié)果的精確度直接依賴(lài)于圖形的精度下面是一個(gè)用史密斯圓圖表示的RF應(yīng)用實(shí)例：

例： 已知特性阻抗為50，負(fù)載阻抗如下：

Z1 = 100 + j50   Z2 = 75 - j100   Z3 = j200   Z4 = 150  
Z5 = (開(kāi)路)   Z6 = 0 (短路)   Z7 = 50   Z8 = 184 - j900  

對(duì)上面的值進(jìn)行歸一化并標(biāo)示在圓圖中(見(jiàn)圖5)：

z1 = 2 + j   z2 = 1.5 - j2   z3 = j4   z4 = 3  
z5 = 8   z6 = 0   z7 = 1   z8 = 3.68 - j18  

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圖5. 史密斯圓圖上的點(diǎn)

現(xiàn)在可以通過(guò)圖5的圓圖直接解出反射系數(shù)畫(huà)出阻抗點(diǎn)(等阻抗圓和等電抗圓的交點(diǎn))，只要讀出它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射系數(shù)的實(shí)部r和虛部i (見(jiàn)圖6)

該范例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)：

1 = 0.4 + 0.2j   2 = 0.51 - 0.4j   3 = 0.875 + 0.48j   4 = 0.5  
5 = 1   6 = -1   7 = 0   8 = 0.96 - 0.1j  

 
圖6. 從X-Y軸直接讀出反射系數(shù)的實(shí)部和虛部用導(dǎo)納表示史密斯圓圖是用阻抗(電阻和電抗)建立的一旦作出了史密斯圓圖，就可以用它分析串聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù)可以添加新的串聯(lián)元件，確定新增元件的影響只需沿著圓周移動(dòng)到它們相應(yīng)的數(shù)值即可然而，增加并聯(lián)元件時(shí)分析過(guò)程就不是這么簡(jiǎn)單了，需要考慮其它的參數(shù)通常，利用導(dǎo)納更容易處理并聯(lián)元件

我們知道，根據(jù)定義Y = 1/Z，Z = 1/Y導(dǎo)納的單位是姆歐或者-1 (早些時(shí)候?qū)Ъ{的單位是西門(mén)子或S)并且，如果Z是復(fù)數(shù)，則Y也一定是復(fù)數(shù)

所以Y = G + jB (2.20), 其中G叫作元件的電導(dǎo)，B稱(chēng)電納在演算的時(shí)候應(yīng)該小心謹(jǐn)慎，按照似乎合乎邏輯的假設(shè)，可以得出：G = 1/R及B = 1/X，然而實(shí)際情況并非如此，這樣計(jì)算會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤

用導(dǎo)納表示時(shí)，第一件要做的事是歸一化， y = Y/Y0，得出y = g + jb但是如何計(jì)算反射系數(shù)呢？通過(guò)下面的式子進(jìn)行推導(dǎo)： 

結(jié)果是G的表達(dá)式符號(hào)與z相反，并有(y) = -(z)

如果知道z，就能通過(guò)將的符號(hào)取反找到一個(gè)與(0, 0)的距離相等但在反方向的點(diǎn)圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°可以得到同樣的結(jié)果(見(jiàn)圖7)

圖7. 180°度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果

當(dāng)然，表面上看新的點(diǎn)好像是一個(gè)不同的阻抗，實(shí)際上Z和1/Z表示的是同一個(gè)元件(在史密斯圓圖上，不同的值對(duì)應(yīng)不同的點(diǎn)并具有不同的反射系數(shù)，依次類(lèi)推)出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個(gè)阻抗圖，而新的點(diǎn)代表的是一個(gè)導(dǎo)納因此在圓圖上讀出的數(shù)值單位是姆歐

盡管用這種方法就可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問(wèn)題時(shí)仍不適用導(dǎo)納圓圖在前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個(gè)點(diǎn)都可以通過(guò)以復(fù)平面原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180°后得到與之對(duì)應(yīng)的導(dǎo)納點(diǎn)于是，將整個(gè)阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)180°就得到了導(dǎo)納圓圖這種方法十分方便，它使我們不用建立一個(gè)新圖所有圓周的交點(diǎn)(等電導(dǎo)圓和等電納圓)自然出現(xiàn)在點(diǎn)(-1, 0)使用導(dǎo)納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)納圓圖由下面的公式構(gòu)造：



解這個(gè)方程



接下來(lái)，令方程3.3的實(shí)部和虛部相等，我們得到兩個(gè)新的獨(dú)立的關(guān)系：



從等式3.4，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：

它也是復(fù)平面(r, i)上圓的參數(shù)方程(x-a)² + (y-b) ² = R² (方程3.12)，以(-g/g+1, 0)為圓心，半徑為1/(1+g)

從等式3.5，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：

同樣得到(x-a)² + (y-b)² = R²型的參數(shù)方程(方程3.17)求解等效阻抗當(dāng)解決同時(shí)存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時(shí)，可以使用同一個(gè)史密斯圓圖，在需要進(jìn)行從z到y(tǒng)或從y到z的轉(zhuǎn)換時(shí)將圖形旋轉(zhuǎn)

考慮圖8所示網(wǎng)絡(luò)(其中的元件以Z0 = 50進(jìn)行了歸一化)串聯(lián)電抗(x)對(duì)電感元件而言為正數(shù)，對(duì)電容元件而言為負(fù)數(shù)而電納(b)對(duì)電容元件而言為正數(shù)，對(duì)電感元件而言為負(fù)數(shù)

圖8. 一個(gè)多元件電路

這個(gè)電路需要進(jìn)行簡(jiǎn)化(見(jiàn)圖9)從最右邊開(kāi)始，有一個(gè)電阻和一個(gè)電感，數(shù)值都是1，我們可以在r = 1的圓周和I＝1的圓周的交點(diǎn)處得到一個(gè)串聯(lián)等效點(diǎn)，即點(diǎn)A下一個(gè)元件是并聯(lián)元件，我們轉(zhuǎn)到導(dǎo)納圓圖(將整個(gè)平面旋轉(zhuǎn)180°)，此時(shí)需要將前面的那個(gè)點(diǎn)變成導(dǎo)納，記為A'現(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn)180°，于是我們?cè)趯?dǎo)納模式下加入并聯(lián)元件，沿著電導(dǎo)圓逆時(shí)針?lè)较?負(fù)值)移動(dòng)距離0.3，得到點(diǎn)B然后又是一個(gè)串聯(lián)元件現(xiàn)在我們?cè)倩氐阶杩箞A圖

圖9. 將圖8網(wǎng)絡(luò)中的元件拆開(kāi)進(jìn)行分析

在返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成阻抗(此前是導(dǎo)納)，變換之后得到的點(diǎn)記為B'，用上述方法，將圓圖旋轉(zhuǎn)180°回到阻抗模式沿著電阻圓周移動(dòng)距離1.4得到點(diǎn)C就增加了一個(gè)串聯(lián)元件，注意是逆時(shí)針移動(dòng)(負(fù)值)進(jìn)行同樣的操作可增加下一個(gè)元件(進(jìn)行平面旋轉(zhuǎn)變換到導(dǎo)納)，沿著等電導(dǎo)圓順時(shí)針?lè)较?因?yàn)槭钦?移動(dòng)指定的距離(1.1)這個(gè)點(diǎn)記為D最后，我們回到阻抗模式增加最后一個(gè)元件(串聯(lián)電感)于是我們得到所需的值，z，位于0.2電阻圓和0.5電抗圓的交點(diǎn)至此，得出z = 0.2 + j0.5如果系統(tǒng)的特性阻抗是50，有Z = 10 + j25 (見(jiàn)圖10)

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圖10. 在史密斯圓圖上畫(huà)出的網(wǎng)絡(luò)元件逐步進(jìn)行阻抗匹配史密斯圓圖的另一個(gè)用處是進(jìn)行阻抗匹配這和找出一個(gè)已知網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗是相反的過(guò)程此時(shí)，兩端(通常是信號(hào)源和負(fù)載)阻抗是固定的，如圖11所示我們的目標(biāo)是在兩者之間插入一個(gè)設(shè)計(jì)好的網(wǎng)絡(luò)已達(dá)到合適的阻抗匹配

 
圖11. 阻抗已知而元件未知的典型電路

初看起來(lái)好像并不比找到等效阻抗復(fù)雜但是問(wèn)題在于有無(wú)限種元件的組合都可以使匹配網(wǎng)絡(luò)具有類(lèi)似的效果，而且還需考慮其它因素(比如濾波器的結(jié)構(gòu)類(lèi)型品質(zhì)因數(shù)和有限的可選元件)

實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件直到得到我們想要的阻抗從圖形上看，就是找到一條途徑來(lái)連接史密斯圓圖上的點(diǎn)同樣，說(shuō)明這種方法的最好辦法是給出一個(gè)實(shí)例

我們的目標(biāo)是在60MHz工作頻率下匹配源阻抗(ZS)和負(fù)載阻抗(zL) (見(jiàn)圖11)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定為低通，L型(也可以把問(wèn)題看作是如何使負(fù)載轉(zhuǎn)變成數(shù)值等于ZS的阻抗，即ZS復(fù)共軛)下面是解的過(guò)程：

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圖12. 圖11的網(wǎng)絡(luò)，將其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)畫(huà)在史密斯圓圖上

要做的第一件事是將各阻抗值歸一化如果沒(méi)有給出特性阻抗，選擇一個(gè)與負(fù)載/信號(hào)源的數(shù)值在同一量級(jí)的阻抗值假設(shè)Z0為50于是zS = 0.5 - j0.3, z*S = 0.5 + j0.3, ZL = 2 - j0.5

下一步，在圖上標(biāo)出這兩個(gè)點(diǎn)，A代表zL，D代表z*S

然后判別與負(fù)載連接的第一個(gè)元件(并聯(lián)電容)，先把zL轉(zhuǎn)化為導(dǎo)納，得到點(diǎn)A'

確定連接電容C后下一個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)在圓弧上的位置由于不知道C的值，所以我們不知道具體的位置，然而我們確實(shí)知道移動(dòng)的方向并聯(lián)的電容應(yīng)該在導(dǎo)納圓圖上沿順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)直到找到對(duì)應(yīng)的數(shù)值，得到點(diǎn)B (導(dǎo)納)下一個(gè)元件是串聯(lián)元件，所以必需把B轉(zhuǎn)換到阻抗平面上去，得到B'B'必需和D位于同一個(gè)電阻圓上從圖形上看，從A'到D只有一條路徑，但是如果要經(jīng)過(guò)中間的B點(diǎn)(也就是B')，就需要經(jīng)過(guò)多次的嘗試和檢驗(yàn)在找到點(diǎn)B和B'后，我們就能夠測(cè)量A'到B和B'到D的弧長(zhǎng)，前者就是C的歸一化電納值，后者為L(zhǎng)的歸一化電抗值A(chǔ)'到B的弧長(zhǎng)為b = 0.78，則B = 0.78 x Y0 = 0.0156姆歐因?yàn)?/span>
C = B，所以C = B/ = B/(2 f) = 0.0156/(2 607) = 41.4pF

B到D的弧長(zhǎng)為x = 1.2，于是X = 1.2 x Z0 = 60 由L = X, 得L = X/ = X/(2 f)= 60/(2 607) = 159nH

圖13. MAX2472典型工作電路

第二個(gè)例子是MAX2472的輸出匹配電路，匹配于50負(fù)載阻抗(zL)，工作品率為900MHz (圖14所示)該網(wǎng)絡(luò)采用與MAX2472數(shù)據(jù)資料相同的配置結(jié)構(gòu)，上圖給出了匹配網(wǎng)絡(luò)，包括一個(gè)并聯(lián)電感和串聯(lián)電容，以下給出了匹配網(wǎng)絡(luò)元件值的查找過(guò)程

圖14. 圖13所示網(wǎng)絡(luò)在史密斯圓a圖上的相應(yīng)工作點(diǎn)

首先將S22散射參數(shù)轉(zhuǎn)換成等效的歸一化源阻抗MAX2472的Z0為50，S22 = 0.81/-29.4°轉(zhuǎn)換成zS = 1.4 - j3.2, zL = 1和zL* = 1

下一步，在圓圖上定位兩個(gè)點(diǎn)，zS標(biāo)記為A，zL*標(biāo)記為D因?yàn)榕c信號(hào)源連接的是第一個(gè)元件是并聯(lián)電感，將源阻抗轉(zhuǎn)換成導(dǎo)納，得到點(diǎn)A 

確定連接電感LMATCH后下一個(gè)點(diǎn)所在的圓弧，由于不知道LMATCH的數(shù)值，因此不能確定圓弧終止的位置但是，我們了解連接LMATCH并將其轉(zhuǎn)換成阻抗后，源阻抗應(yīng)該位于r = 1的圓周上由此，串聯(lián)電容后得到的阻抗應(yīng)該為z = 1 + j0以原點(diǎn)為中心，在r = 1的圓上旋轉(zhuǎn)180°，反射系數(shù)圓和等電納圓的交點(diǎn)結(jié)合A點(diǎn)可以得到B (導(dǎo)納)B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的阻抗為B點(diǎn)

找到B和B'后，可以測(cè)量圓弧A'B以及圓弧B'D的長(zhǎng)度，第一個(gè)測(cè)量值可以得到LMATCH電納的歸一化值，第二個(gè)測(cè)量值得到CMATCH電抗的歸一化值圓弧A'B的測(cè)量值為b = -0.575，B = -0.575 × Y0 = 0.0115mhos因?yàn)?/span>1/L = B，則LMATCH = 1/B = 1/(B2 f) = 1/(0.01156 × 2 × × 900 × 106) = 15.38nH，近似為15nH圓弧B'D的測(cè)量值為X = -2.81，X = -2.81 × Z0 = -140.5因?yàn)?1/C = X，則CMATCH = -1/X = -1/(X2 f) = -1/(-140.5 × 2 × × 900 × 106) = 1.259pF，近似為1pF這些計(jì)算值沒(méi)有考慮寄生電感和寄生電容，所得到的數(shù)值接近與數(shù)據(jù)資料中給出的數(shù)值： LMATCH = 12nH和CMATCH = 1pF 
總結(jié)在擁有功能強(qiáng)大的軟件和高速高性能計(jì)算機(jī)的今天，人們會(huì)懷疑在解決電路基本問(wèn)題的時(shí)候是否還需要這樣一種基礎(chǔ)和初級(jí)的方法

實(shí)際上，一個(gè)真正的工程師不僅應(yīng)該擁有理論知識(shí)，更應(yīng)該具有利用各種資源解決問(wèn)題的能力在程序中加入幾個(gè)數(shù)字然后得出結(jié)果的確是件容易的事情，當(dāng)問(wèn)題的解十分復(fù)雜并且不唯一時(shí)，讓計(jì)算機(jī)作這樣的工作尤其方便然而，如果能夠理解計(jì)算機(jī)的工作平臺(tái)所使用的基本理論和原理，知道它們的由來(lái)，這樣的工程師或設(shè)計(jì)者就能夠成為更加全面和值得信賴(lài)的專(zhuān)家，得到的結(jié)果也更加可靠