接收靈敏度的定義公式

摘要：本應用筆記論述了擴頻系統靈敏度的定義以及計算數字通信接收機靈敏度的方法。本文提供了接收機靈敏度方程的逐步推導過程，還包括具體數字的實例，以便驗證其數學定義。

在擴頻數字通信接收機中，鏈路的度量參數Eb/No (每比特能量與噪聲功率譜密度的比值)與達到某預期接收機靈敏度所需的射頻信號功率值的關系是從標準噪聲系數F的定義中推導出來的。CDMA、WCDMA蜂窩系統接收機及其它擴頻系統的射頻工程師可以利用推導出的接收機靈敏度方程進行設計，對于任意給定的輸入信號電平，設計人員通過權衡擴頻鏈路的預算即可確定接收機參數。
從噪聲系數F推導Eb/No關系
根據定義，F是設備(單級設備，多級設備，或者是整個接收機)輸入端的信噪比與這個設備輸出端的信噪比的比值(圖1)。因為噪聲在不同的時間點以不可預見的方式變化，所以用均方信號與均方噪聲之比表示信噪比(SNR)。

下面是在圖1中用到的參數的定義，在靈敏度方程中也會用到它們：

Sin = 可獲得的輸入信號功率(W)
Nin = 可獲得的輸入熱噪聲功率(W) = KTBRF其中：
K = 波爾茲曼常數 = 1.381 × 10-23 W/Hz/K，
T = 290K，室溫
BRF = 射頻載波帶寬(Hz) = 擴頻系統的碼片速率
Sout = 可獲得的輸出信號功率(W)
Nout = 可獲得的輸出噪聲功率(W)
G = 設備增益(數值)
F = 設備噪聲系數(數值)

的定義如下：

F = (Sin / Nin) / (Sout / Nout) = (Sin / Nin) ×(Nout / Sout)

用輸入噪聲Nin表示Nout：

Nout = (F × Nin × Sout) / Sin其中Sout = G × Sin

得到：

Nout = F × Nin × G

調制信號的平均功率定義為S = Eb / T，其中Eb為比特持續時間內的能量，單位為W-s，T是以秒為單位的比特持續時間。

調制信號平均功率與用戶數據速率的關系按下面的式子計算：

1 / T = 用戶數據比特率，Rbit單位Hz，得出Sin = Eb × Rbit

根據上述方程，以Eb/No表示的設備輸出端信噪比為：

Sout / Nout = (Sin × G) / (Nin × G × F) =
Sin / (Nin × F) =
(Eb × Rbit) / (KTBRF × F) =
(Eb/ KTF) ×(Rbit / BRF)，

其中KTF表示1比特持續時間內的噪聲功率(No)。

因此，

Sout / Nout = Eb/No × Rbit / BRF

在射頻頻帶內，BRF等于擴頻系統的碼片速率W，處理增益(PG = W/Rbit)可以定義為：

PG = BRF / Rbit

所以， Rbit / BRF = 1/PG，由此得輸出信噪比：

Sout / Nout = Eb/No × 1 / PG。

注意：對于沒有擴頻的系統(W = Rbit)，Eb/No在數值上等于SNR。
接收機靈敏度方程
對于給定的輸入信號電平，為了確定SNR，用噪聲系數方程表示Sin：

F = (Sin / Nin) / (Sout / Nout)或F = (Sin / Nin) × (Nout / Sout)
Sin = F × Nin ×(Sout / Nout)

Sin又可以表示為：

Sin = F × KTBRF × Eb/No × 1/PG

用一種更加常用的對數形式表示，對每一項取以10為底的對數再乘10得到單位dB或dBm。于是噪聲系數NF (dB) = 10 × log (F)，由此得出下面的接收機靈敏度方程：

Sin (dBm) = NF (dB) + KTBRF (dBm) + Eb/No (dB) - PG (dB)

數字實例
下面是擴頻WCDMA蜂窩系統基站接收機的例子。盡管接收機靈敏度方程對各種電平的輸入信號都是正確的，對于給定的Eb/No、本范例在滿足誤碼率百分比(%BER)的最小靈敏度下選擇了最大輸入信號功率。這個實例的條件為：

對于速率為12.2kbps、功率-121dBm的數字語音信號，最大規定輸入信號電平必須滿足系統的最小規定靈敏度。
對于QPSK調制信號，在Eb/No值為5dB時可以獲得規定的誤碼率BER (0.1%)。
射頻帶寬等于碼片速率，即3.84MHz。
KTBRF(log) = 10 × log(1.381 × 10-23 W/Hz/K × 290K × 3.84MHz × 1000mW/W) = -108.13dBm.
規定的用戶數據速率Rbit等于12.2kbps，PG為PG = Rchip / Rbit = 314.75numeric或25dBlog。
將這些值帶入并利用等式：Sout / Nout = Eb/No × Rbit / BRF得到輸出信噪比為：5dB - 25dB = -20dB。這表示擴展了帶寬的擴頻系統實際是在負值SNR下工作。

為了得到滿足最小規定靈敏度的最大接收機噪聲系數(表示為NFmax)，使用接收機靈敏度方程：

Sin (dBm) = NF (dB) + KTBRF (dBm) + Eb/No (dB) - PG (dB)

下面的步驟和圖2給出了得到NFmax的具體方法：

步驟1：對于WCDMA系統，在預期的靈敏度下最大規定射頻輸入信號為-121dBm。

步驟2：減去5dB的Eb/No值，得到在用戶頻帶內允許的最大噪聲電平為-126dBm (12.2kHz)。

步驟3：加上25dB的處理增益，得到在射頻載波帶寬內的最大允許噪聲電平為-101dBm。

步驟4：從射頻輸入噪聲中減去最大允許噪聲電平得到NFmax = 7.1dB。