熱效應一方面是因為玻璃與機械件的熱脹冷縮，另一方面則是因為玻璃的熱折射率效應。玻璃和機械的熱系數雖然會有不同，但總是正值，即隨溫度的升高而膨脹，溫度降低時就會縮小。而玻璃的熱折射率效應卻有正負值甚至為零，而且玻璃的熱折射率效應對整個系統焦移的影響與這塊玻璃在系統中所起的光焦度作用有關。因此光學系統的無熱化就是利用玻璃熱折射率效應補償玻璃與機械件的熱脹冷縮。本文用一階的方式對系統進行無熱化分析。?

首先，假設玻璃的熱折射率為零，或者假設材料的熱折射率對系統的焦移貢獻為零，那么溫度變化時，探測器的離焦量主要由材料和機械件的熱脹冷縮決定（暫時不考慮熱脹冷縮導致的曲率變化）；當一個系統的總長和機械件的材料確定了，那么這個離焦量也大致為定值，即使變化系統的結構，其對離焦不會帶來太多影響。

假設第j面玻璃的熱系數為αj ，第j面空氣的機械件的熱系數為βj ，表面之間的厚度為lj，溫度變化量為ΔT ，那么總的離焦量為：

? ? (1)

考慮到整個鏡頭一般都是用同一種金屬材料封裝，假設這種材料的熱系數為γ，系統總長為L ，那么總的離焦量就為：

ΔL=γLΔT????(2)

玻璃的熱折射率系數比較復雜，對于不同材料在不同波長或不同溫度下差別很大，假設某種材料的熱折射率系數為：

????(3)

因為溫度變化導致玻璃的折射率變化，玻璃的折射率變化導致元件的光焦度變化，元件的光焦度變化導致系統的光焦度變化，系統的光焦度變化會產生系統焦移量。無熱化的思想就是，用這個焦移量來補償由溫度熱脹冷縮而產生的離焦量。

單片薄透鏡的光焦度P與折射率的關系為： P=n(c1-c2)???(4) 其中n為玻璃的折射率，c1和c2分別為兩個面的曲率，所以光焦度與溫度的關系為：

? ?(5) 單個鏡片的光焦度與系統的光焦度的一階關系為：

??(6) 其中 Ptol表示系統的總光焦度，hi表示邊際線在第i片薄透鏡的高度，Pi表示第i片薄透鏡的光焦度。因此總光焦度與溫度的關系為：

??(7) 又因為在空氣中焦距是光焦度的倒數即 f=1/p??(8) 所以溫度導致的焦移量為：

??(9) 當熱脹冷縮的焦移量與熱折射率導致的離焦量相等時，就實現了無熱，結合式子（2）和（9）：

??(10) 溫度變化會導致鏡片熱脹冷縮，從而導致曲率變化，曲率變化也會導致光焦度變化。以上推導未考慮這個因素，然而可以推出 ΔP=αPΔT??(11) （以上分析僅供參考，熱效應非常復雜，但是簡化的模型至少可以判斷應該在哪里往哪個方向換玻璃）

編輯：黃飛

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