摘要：現有的焦距檢測方法通常由于檢測儀器光源波長與光學系統不完全匹配從而產生縱向色差影響檢測結果。針對這一問題，研究光學系統縱向色差的變化規律，并確定在400nm～1000nm波段用于表示其函數關系的Conrady 公式和復消色差特性公式。根據光學系統近焦位置的離焦量與位置呈線性關系的特性, 提出使用菲索干涉儀測量 5 種不同波長的焦距位置，獲得單透鏡和 雙膠合鏡頭的縱向色差曲線。實驗結果表明:?在400nm～1000nm波段單色系統和消色差系統的 縱向色差的函數關系分別符合Conrady公式和復消色差特性公式，研究結果為焦距的理論計算和精確檢測提供了新的思路和參考。 ?

引言

在高精度成像中，對給定光學系統的焦距進行 測量是非常重要的。通常意義上的焦距是指某一 特定波長（一般為設計波長）的焦距數值，目前主 流的焦距檢測設備的光源波長無法與被測光學系 統完全匹配，縱向色差會對焦距的測量結果產生 影響?？v向色差是描述光學系統在不同波長下 如何沿不同縱向位置聚焦，也稱位置色差或軸向 色差。光學系統的性能經常受色差限制而非單色 像差限制，因此大多數成像鏡頭設計的目標都是 讓所有波長盡可能聚焦在同一平面?，在設計波 段范圍內所有波長聚焦位置越接近這個相同平 面，在圖像中觀察到的問題就越少?？v向色差可 以通過測量光學系統在不同波長下的焦點位移來 評估，在一些簡單的縱向色差檢測實驗中，對焦點 位置的確定是影響測量結果的一個重要因素。

為了準確檢測光學系統的縱向色差，Seong等人提出一種利用馬赫澤德干涉儀測量縱向色差的方法， 首先測量單透鏡和雙膠合鏡頭在多個波長下的透 射波前，然后利用波前Zernike系數確定各波長的 焦點位置，再使用 Sellmeir 公式計算400nm～700nm波段的色差曲線 ，進而得到被測系統的縱向色 差。這種方法在測量前需要對被測系統進行建模，從結果上看該方法對單透鏡的色差曲線影響 誤差較小，而對雙膠合鏡頭的色差曲線影響誤差 較大。本文針對這一問題，重點分析了不同類別 光學系統的縱向色差變化規律，并嘗試使用Conrady公式和復消色差特性公式表示其函數關系，同時 提出一種基于菲索干涉儀測量光學系統焦點位置 進而獲得光學系統縱向色差函數曲線的方法。 ?

1 原理

傳統透射系統主要分為單色系統、消色差系統和復消色差系統。單色系統通常只工作在單一波長或極窄的波段范圍內，大部分情況下使用同一種材料設計。由于折射率是波長的函數，光學系統的焦距也隨著波長變化，所以單色系統的縱向色差是一條單調曲線。消色差系統為了消除色差，采用多種玻璃進行設計，由色差校正原理可知，對于大部分消色差系統來說，只能使2個波長聚焦在同一位置，且由于大部分消色差系統（如照相物鏡）都是對“F、d、C”光進行校正，所以它們的色焦移曲線具有類似的形狀。復消色差系統可以使3個波長同時聚焦在同一位置，其他波長情況下聚焦到這一平面的距離（即離焦量）相比消色差系統小很多，所以復消色差系統的像質遠好于消色差系統，利用離焦量大小可以分析光學系統是否有效校正了色差，也可判斷它們屬于消色差系統還是復消色差系統。

不論是單色系統、消色差系統還是復消色差系統，它們的縱向色差都能用Zemax中的色焦移曲線（chromaticfocalshift）表示，色焦移曲線可用于確定光學系統縱向色差的函數關系。為了驗證得到的函數關系是否符合實際，使用菲索干涉儀測量光學系統不同波長的焦點位置進行驗證，將采集的離散數據代入縱向色差的函數表達式求解，評估函數曲線與實際測量焦點位置數據的一致性。

對于實際光學系統而言，衍射和像差的存在會對準確確定焦點位置造成一定困擾。在光學檢測中，Zernike多項式Z3的物理意義是離焦，若測量的透射波前Z3為零，則表示該位置為光學系統的焦點位置。在零離焦位置，一些微小的機械調整誤差會對Z3的數值產生明顯的影響，導致無法準確記錄焦點位置。在離焦量較大的位置微小調整X和Y傾斜對Z3的影響則可以忽略不計。鑒于Zernike系數Z3與位置呈線性關系已通過仿真和分析得到驗證，本文通過測量離焦位置波前Zernike系數Z3計算被測系統的焦點位置，原理如圖1所示。通過旋轉測微旋鈕推動導軌上五維支架使反射球面鏡沿Z軸方向移動，測量被測光學系統在焦點附近若干個離焦位置的透射波前，并記錄對應位置的Z3值，將Z3與位置數據按線性方程進行擬合，再使用擬合曲線計算出Z3為零時的位置。使用相同的步驟測量并計算被測系統在其他多個波長下的焦點位置，就可以得到縱向色差。

圖1. 測量離焦位置的透射波前確定焦點位置原理

2 模擬仿真 2.1 單色系統

以一個單一材質的單色系統為例進行分析。具體參數為F數1.5，入瞳直徑20mm，焦距30mm，波長范圍400nm～1000nm，為方便數據采集分析選擇400nm作為主波長。鏡頭結構圖和色焦移曲線如圖2所示。

圖2. 單色系統結構圖與色焦移曲線 單色系統焦距隨波長的變化主要由材料折射率引起，單調的 Zernike 系數-波長曲線可以使用Conrady 公式表示，與之相近單調的焦距-波長曲線也可使用 Conrady 公式表示成：

?（1） 式中：Af、 Bf、Cf分別為常數項系數和波長項系數。選取 530 nm、560 nm 和 720 nm 的焦距-波長數據代入（1）式求解系數：

?（2） 計算后得到單色系統的焦距-波長曲線的函數 表達式為

（3） 圖 3（a）為單色系統焦距-波長仿真曲線與求解的Conrady公式曲線對比結果，圖3（b）為曲線對比殘差圖。根據圖3（b）顯示，在400nm～1000nm波段內仿真和求解曲線焦距的最大絕對誤差為23.11μm（λ=400nm），相對誤差0.08%，求解曲線基本符合仿真曲線。由于單色系統的焦距-波長曲線均為類似的形狀，因此Conrady公式可用于表示單色系統的縱向色差函數關系。

圖3. 單色系統焦距-波長仿真曲線與Conrady公式求解曲線對比 2.2 消色差系統 以雙高斯系統作為研究對象分析消色差系統的縱向色差。具體參數為F數2.5，焦距35mm，波長范圍400nm～1000nm，主波長400nm，鏡頭結構圖和色焦移曲線如圖4所示。

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圖4. 雙高斯系統結構圖與色焦移曲線圖 消色差系統的色焦移曲線通常帶有一個拐點，選取530nm，560nm和630nm的焦距-波長數據代入Conrady公式求解系數，得到雙高斯系統的焦距-波長曲線的函數表達式：

（4） 圖5（a）為雙高斯系統焦距-波長仿真曲線與Conrady公式求解曲線的對比結果。當波長范圍較大時，Conrady公式求解曲線會出現較大偏差，圖5（b）是仿真曲線與Conrady公式求解曲線的殘差圖。從圖5可以看出，在波長1000nm處仿真曲線和Conrady公式求解曲線的最大絕對誤差為47.47μm，相對誤差為0.1349%。為了使求解曲線與理想曲線更吻合，嘗試使用復消色差特性公式求解計算。復消色差特性公式是在Conrady公式基礎上拓展一個波長項后得到的。

4 結論

焦距檢測常會因為波長不匹配而引入色差，本文分析了光學系統縱向色差的變化規律，通過軟件模擬和實驗驗證發現在400nm～1000nm波段，單色系統的縱向色差曲線可使用大家熟知的Conrady公式有效表示，而運用范圍更廣的消色差系統和復消色差系統的縱向色差曲線則需要使用復消色差特性公式表示，同時給出了復消色差特性公式冪級數系數范圍的選定方法。本文還提出了一種基于菲索干涉儀測量光學系統縱向色差曲線的方法，通過測量離焦位置的透射波前Z3系數確定各波長的焦點位置，利用離散數據求解模型公式后獲得400nm～1000nm波段內光學系統的縱向色差函數曲線。本文的研究工作表明，Conrady公式和復消色差特性公式除了適用于光學系統Zernike系數的變化規律外，還同樣適用于光學系統的縱向色差，這對于焦距的精確測量具有指導意義。

審核編輯：黃飛

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