分形維數簡介

　　分形維數被譽為大自然的幾何學的分形（Fractal）理論，是現代數學的一個新分支，但其本質卻是一種新的世界觀和方法論。分維反映了復雜形體占有空間的有效性，它是復雜形體不規則性的量度。它與動力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下或過程中，在某一方面（形態，結構，信息，功能，時間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，進而拓展了視野。

　　分形維數原理

　　fractal dimension主要描述分形最主要的參量，簡稱分維。通常歐幾里德幾何中，直線或曲線是1維的，平面或球面是2維的，具有長、寬、高的形體是 3 維的；然而對于分形如海岸線、科赫曲線、謝爾賓斯基海綿等的復雜性無法用維數等于 1、2、3 這樣的數值來描述?？坪涨€第一次變換將1英尺的每邊換成3個各長4英寸的線段，總長度變為 3×4×4/3=16 英寸；每一次變換使總長度變為乘以4/3，如此無限延續下去，曲線本身將是無限長的。這是一條連續的回線，永遠不會自我相交，回線所圍的面積是有限的，它小于一個外接圓的面積。因此科赫曲線以它無限長度擠在有限的面積之內，確實是占有空間的 ，它比1維要多，但不及2維圖形，也就是說它的維數在1和2之間，維數是分數。同樣，謝爾賓斯基海綿內部全是大大小小的空洞，表面積是無限大，而占有的 3 維空間是有限的，其維數在2和3之間。

　　圖像的分形維數研究與分析

　　1 分形基礎

　　1. 1 分形理論

　　Mandelbrot 曾經為分形下過兩個定義：（1） D（ A）》d（ A的集合 A，稱為分形集，其中 ，D（ A）為集合A的 Hausdoff 維數（或分維數），d（ A）為其拓撲維數。一般說來 ，D（ A）不是整數，而是分數;（2）部分與整體以某種形式相似的形 ，稱為分形。然而，經過理論和應用的檢驗，人們發現這兩個定義很難包括分形如此豐富的內容。實際上，對于什么是分形，到目前為止還不能給出一個確切的定義，人們通常是列出分形的一系列特性來加以說明。 分形特性有：

　?。?）分形集具有精細的結構 ，即有任意小比例的細節 ;

　　（2）分形集是如此的不規則以至它的整體和局部都不能用傳統的幾何語言描述 ;

　　（3）分形集通常有某種自相似的性質 ，可能是近似的或是統計的 ;

　?。?）一般的 ，分形集的“分形維數”（以某種方式定義） 大于它的拓撲維數 ;

　?。?）在大多數令人感興趣的情形下 ，分形集以非常簡單的方法定義 ，可能由迭代產生。

　　1. 2 分形維數

　　在歐幾里德空間 ，所有的物體的維數都是整數維的 ，而分形理論則把維數視為分數。 維數是分形幾何理論中重要基本概念之一 ，目前已經有許多維數的定義 ，主要包括 Hausdorff 維數、計盒維數（Box2counting dimension） 、修正計盒維數、填充維數等。 在實際應用中 ，通常所說的分形維數都是指計盒維數 ，而在分形理論應用研究中提出的許多維數的概念都是計盒維數的變形。

　　2 分形維數在圖像分析中的應用

　　分形理論在圖像分析中的應用是基于以下兩點為基礎的 ：一是自然界中不同種類的形態物質一般具有不同的分維數 ;二是由 A. P. Pentland 的假設 ，自然界中的分形與圖像的灰度表示之間存在著一定的對應關系

　　2. 1 分形維數在圖像分類中的應用

　　李厚強等在對航空遙感圖像進行分類時采用基于分形維數的方法計算紋理特征 ，以此來提取和分析遙感圖像的結構特征 ，并與航空遙感圖像的另一重要特征 ———光譜信息相結合 ，通過綜合應用紋理信息和光譜信息實現對遙感圖像的分析與識別。 尺度不變性是基于分形的紋理特征的一個重要特點 ，這非常適合遙感圖像分類。 現有的基于分形模型的方法是以分形維數作為紋理特征 ，在計算分形維數時 ，該文章采用 N. Sarkar 和 B. B. Chaudhuri 提出的 DBC（Differential Box Counting） 方法。 其主要思想如下。

　　將 M ×M 大小的圖像分割成 s ×s 的子塊（ M/ 2 Ε s 》 1 ，s 為整數） ，令 r = s/ M 。 將圖像想象成三維空間中的曲面 ， x ， y 表示平面位置 ， z 軸表示灰度值。 xy 平面被分割成許多s ×s的網格 ，在每個網格上 ，是一列 s ×s ×s的盒子。 設圖像灰度在第（ i ， j）網格中的最小值和最大值分別落在第 k 和第 l 個盒子中 ，則 ：

　　nr （ i ， j） = l - k + 1 （4）

　　是覆蓋第（ i ， j） 網格中的圖像所需的盒子數 ，而覆蓋整個圖像所需的盒子數 N r 為

　　針對不同的 r，計算 N r ，應用最小二乘法 ，即可求得分形維數 D. 在實際應用中 ，僅以分形維數為特征 ，很難達到好的分類效果 ，于是 ，文章引入“空隙”特征的概念 ，并將高、低灰度圖像變換作為紋理特征之一 ，結合圖像的色度和飽和度 ，有效地避免了不同材料計算得出相同分形維數的情況 ，可以較為準確的對航空遙感圖像進行分類。

　　基于分形維數的圖像分類也可以應用于圖像壓縮的預處理 ，基于分形維數特征 ，將圖像分為不同的區域 ，而這一分類 ，對圖像進行進一步的壓縮編碼具有重要的指導意義。曹文倫等依據圖像灰度變化的平緩或劇烈程度 ，將圖像分為以下幾類 ：紋理、紋理邊緣、紋理邊緣平滑、邊緣平滑和平滑 ，并且分別計算以及確定了不同圖像種類的分形維數區間。 按照此區間 ，可以對待測圖像基于其分形維數進行分類。 利用分類結果 ，可以分析以及初步判斷待測圖像的空間不規則程度 ，對在進一步進行壓縮編碼具有指導意義。 如果一個物體的表面是分形的 ，則由它產生的圖像灰度表面也具有分形的性質。 基于此 ，通過 Keller 的盒維數算法完成原圖分形維數的提取。 其主要思想是：令離散灰度圖像 F是一個在三維空間中的分形曲面 ，長、寬為 R; Nε（ F） 表示邊長為ε×ε×ε的包含所要估計的圖像區域 ，其分形維數 DB 將由（7） 式決定 ：

　　將 R ，ε帶入（8） 式 ，即可求出灰度圖像 F的盒維數 DB 。 分形維數可以很好的作為圖像分析與分類的參數 ，該方法所使用的采用分形維數的圖像分類與人憑借主觀感受對圖像進行的分類相吻合。

　　李杰等在對待壓縮圖像進行預處理時 ，把標準圖像分為圖像塊 ，通過計算其分形維數 ，依據圖像塊內灰度及其變化情況 ，把圖像塊分為 3 類 ：均勻塊、中值塊和邊緣塊 ，不同種類的圖像塊反映了不同的紋理特征。 在對圖像塊分形維數特征的計算中 ，本文采用的是基于形態算子的毯子覆蓋法計算圖像塊灰度圖像的分形維數。 其主要思想是灰度圖像想象成一個在三維空間中的分形曲面 ，所要估計的圖像區域的分形維數 D 將由下面的公式確定

　　式中 A （ r） 為分形曲面的表面積 ， r為度量時所使用的面積元尺度 ， D為曲面的分形維數 ， F是一常數。 曲面的表面積求法如下 ：把三維空間中的所有距離曲面表面為 r的點 ，用厚度為2 r的毯子覆蓋 ，曲面的表面積就是被覆蓋的體積除以2 r，覆蓋的毯子由曲面的上表面 ur 和下表面 br 來定義 ：設曲面上點（ i ， j） 的灰度值為 g（ i ， j） ，取 r = 1 ，2 ，3 ， …， ur ， br 的值為

　　其中點（ m ， n） 是距離點（ i ， j） 不大于 1 的點 ，取于點（ i ， j） 的四鄰域。 該毯子的體積為 ：

　　并在 log［ A （ r） ］2log （ r） 坐標系中做直線的最小二乘擬合 ，直線的斜率即為圖像的分形維數 D.文中引入了α，β兩個衍生參數作為分類辨別參數 ，以此來集中體現圖像塊的紋理特點。 將待測圖像塊的分形維數值與α，β相比較 ，并確定圖像塊的所屬分類 ，依據分類 ，對不同的圖像采用不同方式的壓縮編碼。 該方法基本正確的反映了圖像中的紋理分布情況。 針對圖像塊的紋理分布情況 ，采用不同的壓縮編碼 ，可以得到較好的效果.